员工在休息日病死亡，一般情况下与公司没有直接的劳动关系上的法律责任，但具体是否有关联需视情况而定。以下是从不同角度进行的分析：

1. 劳动关系与工伤认定：

   • 根据《工伤保险条例》的相关规定，工伤通常指的是在工作时间内、因工作原因受到的事故伤害，或者在工作岗位上突发疾病死亡（需满足48小时之内经抢救无效死亡的条件）等情形。员工在休息日病死亡，并不符合上述工伤认定的基本条件，因此，从工伤的角度来看，公司通常不需要承担工伤赔偿责任。

2. 非工伤情况下的责任：

   • 如果员工的病死亡并非由工作原因导致，且发生在休息日，那么公司一般不需要承担直接的赔偿责任。但是，如果公司存在违反劳动法规定的行为，如未依法为员工缴纳社会保险（包括医疗保险），导致员工无法享受相应的医疗保障而病死亡，那么公司可能需要承担一定的法律责任。不过，这种情况下的责任并非直接源于员工的病死亡，而是源于公司违反了相关法律法规。

3. 特殊情况下的考虑：

   • 如果员工在休息日病死亡前，曾因工作原因导致身体受损或患有职业病，且该病与工作有直接关联，那么即使病死亡发生在休息日，公司也可能需要承担一定的责任。这种情况下，需要专业的医疗鉴定和劳动能力鉴定来确定病死亡与工作之间的因果关系。
   • 另外，如果公司存在对员工健康状况的忽视或未提供必要的健康保障措施等过错行为，且这些行为与员工的病死亡之间存在因果关系，那么公司也可能需要承担相应的法律责任。

建议：

• 对于员工及其家属来说，如果认为公司的行为与员工的病死亡之间存在关联，可以收集相关证据（如医疗记录、工作记录、公司规章制度等），并向当地劳动保障部门或劳动争议仲裁委员会申请仲裁或提起诉讼，以维护自己的合法权益。
• 对于公司来说，应当严格遵守劳动法律法规，为员工提供必要的健康保障措施，并依法缴纳社会保险，以降低潜在的法律风险。

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