结论：在劳务派遣关系中，若未签订书面劳动合同，赔偿责任主要由劳务派遣单位承担。具体赔偿情况需根据未签订合同的具体主体及持续时间来确定。
一、赔偿主体与责任
劳务派遣单位：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，劳务派遣单位作为用人单位，负有与劳动者签订书面劳动合同的法定义务。若未签订，劳务派遣单位需承担赔偿责任。
用工单位：
- 用工单位虽不直接与劳动者签订劳动合同，但若因用工单位的原因导致劳动合同未签订，且给劳动者造成损害的，劳务派遣单位与用工单位需承担连带赔偿责任。不过，在大多数情况下，未签订劳动合同的直接责任在于劳务派遣单位。
二、赔偿标准与计算
双倍工资支付：
- 法律依据：根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应向劳动者每月支付二倍的工资。
- 计算方式：通常计算11个月，即从用工的第二个月起至满一年时止。例如，若劳动者月工资为5000元，工作了6个月但未签订合同，则劳务派遣单位需额外支付30000元（5000元/月×6个月，但实际计算时，第一个月不计算双倍，所以是5个月×5000元/月×2-已支付的5个月工资=25000元额外支付，不过按通常理解及多数案例，直接按未签合同月数计算双倍工资差额，即此处简化为6个月中后5个月双倍，实际表述为应得双倍工资总额减去已支付工资，结果为额外支付5个月工资，为便于理解，可表述为需支付相当于5个月工资的赔偿，若严格按法律逻辑，则理解为从第二月起至一年内，每月支付双倍，此处6个月情况，就是额外支付5个月工资作为赔偿）作为双倍工资差额的赔偿（严格计算应为：从第二个月起至第六个月，每月支付双倍工资，即额外支付5个月工资，若月工资5000元，则额外支付25000元，但为便于理解，可概括为需支付相当于一定月数工资的赔偿，具体月数根据实际情况确定，最多11个月）。若超过一年未签订，则视为已订立无固定期限劳动合同，但此前未签合同期间仍需支付双倍工资。
经济补偿金：
- 适用情况：若劳务派遣协议到期不续签或因其他原因导致劳动合同解除，且符合支付经济补偿金的条件时，劳务派遣单位需根据劳动者在本单位工作的年限支付经济补偿。
- 具体标准：每满一年支付一个月工资的经济补偿；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
三、维权途径与建议
协商：
- 劳动者发现未签订劳动合同后，应首先与劳务派遣单位进行协商，要求支付双倍工资和经济补偿。
投诉与仲裁：
- 协商无果时，劳动者可向当地劳动行政部门投诉或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，劳动者需提供工作证明、工资条、考勤记录等证据，以证明劳动关系及未签订劳动合同的事实。
诉讼：
- 对仲裁裁决不服的，劳动者有权依法向人民法院提起诉讼。
四、注意事项
证据保留：
- 劳动者在维权过程中应妥善保留相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明劳动关系及未签订劳动合同的事实。
法律途径：
- 劳动者应通过合法途径解决争议，避免采取过激行为或非法手段。
无固定期限劳动合同：
- 若劳务派遣单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同，将视为已订立无固定期限劳动合同。此时，用人单位不能随意解除劳动关系，否则需承担相应的法律责任。
举例说明：小李被某劳务派遣公司派遣到一家企业工作，但劳务派遣公司未与小李签订书面劳动合同。工作8个月后，小李发现这一问题并要求劳务派遣公司支付双倍工资。根据法律规定，劳务派遣公司应支付小李从第二个月起至第八个月（共7个月）的双倍工资差额（若按严格计算逻辑，为额外支付7-1=6个月工资，此处为便于理解，按通常表述方式）。若劳务派遣公司拒绝支付，小李可以向当地劳动行政部门投诉或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
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