公司员工离职时，公司以不签离职协议为由不出离职证明和发当月工资的做法是违法的，员工有权要求公司立即出具离职证明并支付当月工资。以下从不同角度为你详细分析：
法律背景与规定
离职证明的出具：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的规定，用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。这意味着，无论员工是否签署离职协议，公司都有义务在离职时出具离职证明。
工资的支付：
- 同样依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十条的规定，用人单位应当按照劳动合同约定和国家规定，向劳动者及时足额支付劳动报酬。因此，公司不得以员工不签离职协议为由拖欠或拒发当月工资。
法律建议
与公司协商：
- 首先，你可以尝试与公司进行友好协商，明确告知公司其做法违反了相关法律法规，并要求公司立即出具离职证明并支付当月工资。
向劳动监察部门投诉：
- 如果协商无果，你可以向当地的劳动监察部门投诉公司的违法行为。劳动监察部门会依法进行调查，并责令公司改正其违法行为。
申请劳动仲裁：
- 如果劳动监察部门的处理未能满足你的需求，你还可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。在仲裁过程中，你需要提供相关证据证明公司的违法行为，并请求仲裁委员会裁决公司出具离职证明并支付当月工资。
可能的法律后果
公司被责令改正：
- 如果公司被劳动监察部门或劳动争议仲裁委员会认定存在违法行为，公司将被责令立即改正，即出具离职证明并支付当月工资。
公司承担赔偿责任：
- 如果公司的违法行为给你造成了损失（如因无法出具离职证明而错过新的工作机会等），公司还可能需要承担相应的赔偿责任。
实际操作中的注意事项
- 保留证据：在与公司协商、投诉或申请仲裁的过程中，务必保留好相关证据，如劳动合同、工资条、离职通知等，以便在需要时证明自己的权益。
- 及时行动：一旦发现公司存在违法行为，应尽快采取行动，以免错过最佳的维权时机。
综上所述，公司以不签离职协议为由不出离职证明和发当月工资的做法是违法的。你有权要求公司立即改正其违法行为，并可以通过协商、投诉或申请仲裁等方式来维护自己的合法权益。如果你还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。