结论：以自己的名义租房给80多岁的母亲住，这一行为本身是合法的，但需要注意一些法律细节和潜在风险。
详细分析：
合法性基础：
- 从法律角度来看，租房行为主要受到《中华人民共和国民法典》（特别是合同编和物权编的相关规定）的调整。您作为出租人，将房屋出租给您的母亲作为承租人，这一行为并不违反任何法律法规的强制性规定。
- 租房合同是双方自愿、平等、公平的基础上订立的，只要合同内容合法、条款清晰，且双方均具备相应的民事行为能力，该合同就是有效的。
潜在风险与注意事项：
- 合同条款的明确性：在签订租房合同时，应确保所有条款都明确无误，特别是关于租金、租期、维修责任、违约责任等方面的约定。这有助于避免未来可能出现的纠纷。
- 母亲的行为能力：虽然您的母亲80多岁，但只要她具备完全的民事行为能力（即能够理解合同内容并作出自己的决定），她就可以作为承租人签订租房合同。如果她的行为能力受到限制（如患有老年痴呆症等），则可能需要通过法定代理人（如您或其他亲属）来签订合同。
- 租金支付与税务问题：如果您以低于市场价的价格将房屋出租给母亲，可能会被视为一种家庭内部的财产转移或赠与。虽然这本身不违法，但需要注意税务方面的规定，如是否需要缴纳个人所得税等。此外，如果租金支付方式不规范（如通过现金支付且没有留下任何记录），也可能在未来引发纠纷。
- 房屋维修与保养：作为出租人，您有义务确保房屋处于良好的居住状态，并及时进行必要的维修和保养。如果房屋因年久失修或自然损耗而出现问题，您应及时处理，以免给母亲的生活带来不便或造成安全隐患。
建议与措施：
- 签订书面合同：为了保障双方的权益，建议您与母亲签订一份书面的租房合同，并明确约定各项条款。
- 保留相关证据：在租金支付、房屋维修等方面，建议您保留好相关的证据（如转账记录、维修发票等），以便在未来可能出现的纠纷中证明自己的权益。
- 关注母亲的身体状况：随着年龄的增长，母亲的身体状况可能会发生变化。您应定期关注她的健康状况，并根据需要调整租房合同中的相关条款（如租金、租期等）。
总结与进一步思考：
以自己的名义租房给母亲住是一种常见的家庭安排方式，只要注意上述法律细节和潜在风险，就可以确保这一行为的合法性和有效性。如果您在租房过程中遇到任何法律问题或纠纷，欢迎随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。