结论：在未上诉但已申请再审的情况下，是否可以申请检察监督，需分情况讨论，具体如下：

1. 再审申请已被法院受理且正在审查阶段
   根据《民事诉讼法》第216条，若当事人已向法院申请再审且法院正在审查，此时不能同时向检察院申请检察监督。法律明确规定，再审申请与检察监督存在程序衔接关系，需待法院对再审申请作出裁定后（如驳回再审申请），方可向检察院申请监督。此设计旨在避免司法资源浪费和程序冲突。

2. 再审申请已被法院裁定驳回
   若法院驳回再审申请，当事人可在收到驳回裁定后6个月内向检察院申请检察监督（《民事诉讼法》第219条）。此时需提交再审申请书、法院驳回裁定书及新证据（如有）等材料，检察院将依法审查并决定是否提出检察建议或抗诉。

3. 再审申请超过法定期限或法院未予受理
   若再审申请因超过6个月法定期限（《民事诉讼法》第212条）或法院未予受理，当事人仍可申请检察监督，但需证明存在“法院怠于履行职责”等特殊情形。此时检察院将重点审查原审裁判是否存在法定监督事由（如证据采信错误、法律适用错误等）。

实务建议：

• 申请检察监督需严格遵循《人民检察院民事诉讼监督规则》的程序要求，建议委托律师协助准备监督申请书及证据材料；
  
• 检察监督的审查期限一般为3个月，当事人需耐心等待并配合检察院调查；
  
• 若检察院作出不支持监督申请决定，当事人仍可通过信访等渠道反映诉求，但再次启动司法程序的空间有限。

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作流程或证据准备要点。