在留置案件中，最终决定是否对被调查人采取进一步法律措施（如移送司法机关审查起诉）的部门，并非单一部门，而是涉及多个环节和部门的协同工作。不过，若要明确一个在流程中起关键决定作用的部门，这通常与案件的审理和移送阶段紧密相关。

首先，我们需要了解留置措施的审批和执行：

• 留置措施的审批：根据《监察法》的相关规定，监察机关采取留置措施，应当由监察机关领导人员集体研究决定。设区的市级以下监察机关采取留置措施，还需报上一级监察机关批准；省级监察机关采取留置措施，则需报国家监察委员会备案。

• 留置措施的执行：监察机关在采取留置措施时，可以根据工作需要提请公安机关配合执行。

接下来，我们关注留置案件的后续处理流程：

• 案件审理：在留置期间，监察机关会对案件进行审理，收集证据，查明事实。

• 移送审查起诉：若被审查调查人涉嫌职务犯罪，且证据确凿，案件将由案件监督管理部门协调办理移送司法机关事宜。此时，案件审理部门会将《起诉意见书》及时移交案件监督管理部门，后者出具移送函，连同《起诉意见书》一并移送人民检察院。

在移送审查起诉这一关键环节，最终决定是否对被调查人提起公诉的部门是人民检察院。人民检察院在接收案件后，会依法进行审查，并根据审查结果作出是否逮捕、取保候审或者监视居住的决定。若决定提起公诉，则会将案件移送至人民法院进行审判。

因此，虽然留置案件的整个处理流程涉及多个部门，但若要指出一个在流程中起最终决定作用的部门，那么在移送审查起诉后，这个部门就是人民检察院。它负责根据审查结果决定是否对被调查人提起公诉，从而推动案件进入司法审判阶段。