结论前置：上班8年公司没有签正式合同且被辞退，您可以根据辞退的原因，依法申请相应的赔偿或补偿。

具体分析如下：

1. 未签订劳动合同的赔偿：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。对于您上班8年都未签订劳动合同的情况，虽然法律未直接规定8年的双倍工资赔偿（因为通常只追溯到用工之日起一年内），但您有权主张从用工满一年之日起至实际签订劳动合同前一日（或离职前一日，若一直未签）的每月双倍工资差额，不过实践中，由于诉讼时效等因素，可能只能主张部分月份的双倍工资差额，具体需结合当地司法实践和证据情况。但更关键的是，长期未签劳动合同，往往被视为双方已订立无固定期限劳动合同，此时公司单方面辞退您，需承担违法解除的法律责任。

2. 合法辞退的赔偿情况：

   • 如果公司因经济性裁员、公司破产等法定情形，或者您不能胜任工作且经过培训或调岗后仍不能胜任，或者劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化致使劳动合同无法履行且未能就变更劳动合同内容达成协议等情况而辞退您，且公司提前三十日以书面形式通知了您（或额外支付了一个月工资），那么公司应按照《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条的规定，向您支付经济补偿。经济补偿的标准是：按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。因此，对于您工作8年的情况，应获得8个月工资的经济补偿金。
   • 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（月工资是指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）

3. 违法辞退的赔偿情况：

   • 如果公司没有合法理由而辞退您，则属于违法解除劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定，公司应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向您支付赔偿金。因此，对于您工作8年的情况，如果被违法辞退，应获得16个月工资的赔偿金。
   • 计算公式：赔偿金 = 经济补偿金 × 2 = 工作年限 × 月工资 × 2

4. 其他可能的赔偿或补偿：

   • 代通知金：如果公司未提前三十日书面通知您解除劳动合同，可能需要支付一个月的代通知金作为替代。但这并不属于经济补偿或赔偿的范畴，而是额外的补偿措施。
   • 未休年假的工资报酬：如果您在被辞退前还有未休的带薪年假，公司应按照您日工资收入的300%支付未休年假的工资报酬（其中包含公司已支付您正常工作期间的工资收入）。
   • 社保与公积金补缴：若公司在劳动关系存续期间未依法为您缴纳社保或公积金，您有权要求公司补缴相应费用及滞纳金。

行动建议：

• 收集并保存好与公司的劳动关系证明，如工作证、工资条、考勤记录等。
• 与公司协商赔偿事宜，如果协商不成，可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。
• 在申请劳动仲裁前，建议咨询专业律师（即我本人，您可以直接向我提问），以便更好地了解您的权益和维权策略。