结论：邻居投毒致您家散养鸡死亡的行为，既可能涉及治安管理处罚，也可能构成刑事犯罪，具体取决于投毒行为的性质、后果及主观意图。以下从治安管理处罚与刑事犯罪两个角度进行详细分析。
一、治安管理处罚角度
法律依据：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，对于故意损毁公私财物的行为，如果情节较轻，尚未构成犯罪的，可以处以拘留、罚款等治安管理处罚。
行为分析：
- 如果邻居投毒的行为主要是出于报复、恶作剧或其他非故意杀人、伤害的目的，且造成的损失（如鸡的死亡数量、价值等）相对较小，未达到刑事犯罪的标准，那么该行为可能被视为故意损毁公私财物，从而受到治安管理处罚。
处罚措施：
- 根据具体情节，公安机关可能会对邻居处以五日以上十日以下拘留，并可以并处五百元以下罚款；情节较重的，处十日以上十五日以下拘留，并可以并处一千元以下罚款。
二、刑事犯罪角度
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，如果邻居投毒的行为具有故意杀人、故意伤害或破坏生产经营等目的，且造成了严重后果（如人畜伤亡、重大财产损失等），则可能构成刑事犯罪。
- 具体来说，如果投毒行为针对的是不特定多数人或牲畜，且足以危害公共安全，还可能构成投放危险物质罪。
行为分析：
- 如果邻居投毒的行为是出于故意杀人、故意伤害或破坏生产经营的目的，且已经造成了鸡的死亡等后果，那么该行为就可能构成刑事犯罪。
- 特别是如果投毒行为具有公共危险性，如投毒于公共水源、饲料等，那么更可能构成投放危险物质罪。
刑事责任：
- 根据具体罪名和情节，邻居可能面临有期徒刑、无期徒刑甚至死刑的刑事处罚。同时，还需要承担民事赔偿责任，赔偿您因鸡死亡而遭受的损失。
三、综合建议
收集证据：
- 在发现邻居投毒后，应立即报警并保护好现场，以便公安机关进行调查取证。
- 同时，可以收集相关证据，如投毒物质、鸡的死亡情况、邻居的言行举止等，以支持您的主张。
咨询专业律师：
- 在处理此类事件时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。虽然我不能直接提供联系方式，但您可以随时向我咨询相关法律问题。
考虑和解或调解：
- 在某些情况下，如果双方愿意和解或调解，可以通过协商达成赔偿协议等方式解决纠纷。这有助于减少诉讼成本和时间消耗。
最后，邻居投毒致您家散养鸡死亡的行为性质严重，既可能涉及治安管理处罚也可能构成刑事犯罪。建议您根据实际情况及时报警并咨询专业律师以获取更具体的法律帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。