首先，需要明确的是，治安管理处罚法主要规范的是违反治安管理的行为，并对此类行为进行处罚。而农田投毒毒死鸡的行为，虽然明显违法，但其性质更偏向于侵犯他人财产权或破坏生产经营的行为，而非单纯的违反治安管理的行为。

针对农田投毒毒死鸡这一具体行为，我们可以从以下几个角度来分析其可能涉及的法律责任：

1. 如果投毒行为导致他人财产损失：

   • 这可能构成民法上的侵权行为，投毒者需要承担民事赔偿责任，赔偿受害者的经济损失。
   • 在某些情况下，如果投毒行为情节严重，还可能构成刑法上的故意毁坏财物罪，需要承担刑事责任。

2. 如果投毒行为危害了公共安全：

   • 比如，投毒行为可能导致农田附近的居民、动物或环境受到危害，那么这可能构成刑法上的投放危险物质罪，需要承担严重的刑事责任。

3. 治安管理处罚法的适用：

   • 治安管理处罚法主要对违反治安管理的行为进行处罚，如扰乱公共秩序、妨害公共安全、侵犯人身权利、财产权利等，但通常不涉及严重的犯罪行为。
   • 如果投毒行为未造成严重后果，且主要体现为对治安秩序的扰乱，那么可能根据治安管理处罚法的相关规定，对投毒者进行行政处罚，如罚款、拘留等。

综上所述，农田投毒毒死鸡的行为可能涉及多种法律责任，包括民事赔偿责任、刑事责任以及可能的治安管理处罚。但具体适用哪种法律，以及承担何种责任，需要根据投毒行为的具体情况、后果以及相关法律法规的规定来判断。

如果你或他人遇到了类似的情况，建议及时向当地公安机关报案，并咨询专业律师以获取更具体的法律建议。在我这里，你可以直接提出你的法律问题，我会尽我所能为你提供帮助。