农村放毒药毒死别人鸡的行为是违法的，并可能构成犯罪，行为人应根据其行为的性质和后果承担相应的法律责任。以下从不同角度进行详细分析：
民事侵权角度：
- 鸡作为他人的私人财产，受到法律保护。故意放毒药毒死鸡，构成了对他人财产权的侵害。
- 受害者有权要求行为人承担赔偿责任，赔偿范围包括鸡的价值以及因鸡死亡而遭受的其他经济损失，如预期产出收益等。例如，如果被毒死的鸡是用于产蛋的母鸡，那么行为人除了需要赔偿母鸡本身的价值外，还需要赔偿因母鸡死亡而导致的未来一段时间内的产蛋损失。
治安管理角度：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十九条，故意损毁公私财物的，可处五日以上十日以下拘留，并可并处五百元以下罚款；情节较重的，处十日以上十五日以下拘留，并可并处一千元以下罚款。
- 毒死他人饲养的鸡属于故意损毁公私财物的行为，公安机关可依法对行为人进行相应的治安处罚。如果行为人多次实施此类行为，或者毒死的鸡数量较多、价值较高，那么可能构成“情节较重”，从而面临更严厉的治安处罚。
刑事犯罪角度：
- 如果投毒行为情节严重，如投放的毒药剂量大、毒性强，对公共安全造成威胁或导致大量鸡死亡，财产损失达到一定数额，可能触犯《中华人民共和国刑法》。
- 具体而言，如果投毒行为危害公共安全，尚未造成严重后果的，依据《中华人民共和国刑法》第一百一十四条，处三年以上十年以下有期徒刑。例如，如果行为人投放的毒药可能污染水源、空气或被其他动物误食后间接危害人体健康等，那么可能构成危害公共安全罪。
- 若投毒行为致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失，则依据《中华人民共和国刑法》第一百一十五条，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。虽然这种情况在毒死鸡的行为中较为罕见，但如果行为人投放的毒药具有极强的毒性，且导致他人中毒或死亡，或者造成大量鸡死亡、财产损失巨大，那么可能面临如此严厉的刑罚。
- 如果行为人以非法占有为目的，通过投毒方式毒死他人饲养的鸡并据为己有，数额较大时，还可能构成盗窃罪。例如，如果行为人毒死他人的鸡后，将鸡拿走并出售获利，且获利数额达到盗窃罪的立案标准，那么可能构成盗窃罪。
建议与指导：
- 对于投毒者而言，应严格遵守法律法规，尊重他人的财产权，避免采取非法手段解决纠纷。遇到邻里纠纷时，应通过合法、合理、和平的方式沟通解决，如协商、调解等。如果无法协商解决，可以向相关部门寻求帮助或提起诉讼。
- 对于受害者而言，应及时报警并保留相关证据，如现场照片、证人证言等，以便维护自己的合法权益。同时，可以要求行为人赔偿因投毒行为造成的经济损失，包括鸡的价值及其他相关经济损失。如果行为人拒绝赔偿或赔偿数额无法达成一致，可以向法院提起诉讼要求赔偿。
综上所述，农村放毒药毒死别人鸡的行为是违法的，并可能构成犯罪。行为人应根据其行为的性质和后果承担相应的法律责任，并赔偿受害者的经济损失。在处理此类纠纷时，应坚持法治原则，依法维护各方的合法权益。如果你有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。