劳动仲裁未获支持的员工诉求，单位一般不可以直接发起起诉，但在特定情况下可以提起诉讼或申请撤销仲裁裁决。以下是对这一问题的详细分析：

1. 劳动仲裁裁决的效力：

   • 劳动仲裁是解决劳动争议的一种前置程序，其裁决具有法律效力。在一般情况下，如果劳动仲裁委员会作出了裁决，且该裁决已经生效（即双方未在法定期限内提起诉讼），那么该裁决就具有约束力，双方应当履行。

2. 单位不能直接起诉的情况：

   • 如果劳动仲裁委员会驳回了员工的诉求，即员工未获支持，这并不意味着单位可以直接向法院提起诉讼。因为劳动仲裁是诉讼的前置程序，单位在劳动仲裁阶段并未提出独立的诉求，而是作为被申诉方参与仲裁。因此，在仲裁裁决后，单位通常不能直接以原告身份向法院提起诉讼来“反击”员工的诉求。

3. 单位可以提起诉讼或申请撤销仲裁裁决的特定情况：

   • 对仲裁裁决不服：如果单位认为劳动仲裁委员会的裁决存在错误，如事实认定不清、法律适用错误等，单位可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，请求法院撤销或变更仲裁裁决。但这种情况并非是对员工诉求的“直接起诉”，而是对仲裁裁决本身的异议。
   • 员工提起诉讼后的反诉：如果员工对仲裁裁决不服并提起了诉讼，单位在作为被告参与诉讼的过程中，如果认为有必要，可以提出反诉，就与员工诉求相关的争议事项提出自己的主张。但这种情况下的“反诉”是在诉讼程序中提出的，且需要满足反诉的条件和程序要求。
   • 涉及第三方权益或公共利益：在某些特殊情况下，如劳动仲裁裁决可能损害第三方权益或公共利益时，单位可能可以通过其他法律途径（如申请行政复议、提起公益诉讼等）来维护自身或公共利益，但这并非直接对员工诉求的起诉。

4. 法律建议：

   • 对于单位而言，如果认为劳动仲裁裁决存在错误或不合理之处，应当及时咨询专业律师，了解自身的法律权利和救济途径。
   • 在考虑提起诉讼或申请撤销仲裁裁决时，单位需要充分评估诉讼风险、成本以及可能的结果，做出明智的决策。

总结来说，劳动仲裁未获支持的员工诉求，单位一般不可以直接发起起诉。但在特定情况下，如单位对仲裁裁决不服、员工提起诉讼后的反诉（在满足条件时），或涉及第三方权益或公共利益时，单位可以通过其他法律途径来维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。