结论：在私人企业工作了十年且今年65岁突然被解雇，是否可以申请赔偿，需根据具体情况判断，主要看解雇是否合法以及是否符合赔偿条件。以下从不同角度进行分析：
一、解雇的合法性
达到法定退休年龄：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第二十一条：“劳动者达到法定退休年龄的，劳动合同终止。”如果您已经达到法定退休年龄（通常为男性60周岁，女性55周岁，具体根据当地政策及岗位性质可能有所不同），那么企业终止劳动合同是合法的，此时一般不涉及赔偿问题。但如果您并未享受基本养老保险待遇，且企业继续用工，双方形成的是劳务关系而非劳动关系，此时解雇的赔偿问题需依据劳务合同或相关法律规定处理。
未达到法定退休年龄或虽达到但未享受养老保险待遇：
- 如果您并未达到法定退休年龄，或者虽然达到但并未享受基本养老保险待遇，且企业无正当理由解雇您，那么企业的行为可能构成违法解雇。根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。”
二、赔偿的条件与计算
经济补偿金：
- 如果企业因经营不善、裁员等原因合法解雇您，且您符合领取经济补偿金的条件（如工作年限、工资水平等），那么您可以获得经济补偿金。经济补偿金的计算依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条：“经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。…本条所称月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。”
赔偿金：
- 如果企业违法解雇您，且您不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行，那么您可以获得赔偿金。赔偿金的计算依据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。”
三、特殊情况考虑
- 无固定期限劳动合同：如果您与企业签订了无固定期限劳动合同，且企业无正当理由解雇您，那么您可能更有权获得赔偿金，因为无固定期限劳动合同通常被视为对劳动者的一种更长期、更稳定的保护。
- 企业规章制度：如果企业的规章制度中有关于解雇的明确规定，且这些规定不违反法律法规的强制性规定，那么企业在解雇您时可能需要遵循这些规定。如果企业违反规章制度解雇您，您也可能有权获得赔偿。
四、建议与行动
- 收集证据：无论您是否打算申请赔偿，都建议您先收集相关证据，如劳动合同、工资单、解雇通知等，以证明您与企业之间的劳动关系以及解雇的事实。
- 咨询专业律师：由于劳动纠纷涉及复杂的法律法规和程序，建议您咨询专业律师以获取更具体的法律建议和帮助。我可以为您提供劳动纠纷领域的专业咨询，帮助您分析案情、制定策略并维护您的合法权益。
- 申请劳动仲裁：如果您认为企业的解雇行为违法且您有权获得赔偿，那么您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁以维护您的权益。
总之，是否可以申请赔偿需根据您的具体情况判断。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。