结论：劳动合同还有5天到期时能否请13天婚假，需分情况讨论，主要取决于公司规章制度、当地政策以及双方协商结果。以下为具体分析：

1. 公司规章制度层面
   根据《企业职工带薪年休假实施办法》及各地婚假规定，婚假的具体天数和申请条件通常由公司规章制度或劳动合同约定。若公司明确规定“婚假需在劳动合同存续期间申请且假期不超出合同期限”，则您可能无法在合同到期前申请13天婚假（因假期会延续至合同终止后）。但若公司制度未限制假期时长与合同期限的关联，或允许假期顺延至合同终止后，则可申请。
   建议：立即查阅公司《员工手册》或劳动合同中关于婚假的条款，确认是否有相关限制。

2. 当地政策层面
   根据《民法典》及《人口与计划生育法》，婚假天数由省级政府规定（通常为3天，部分地区延长至10-15天）。例如，北京、上海为10天，河南为21天。若您所在地区规定婚假为13天，则您有权享受该假期，但需注意：

   • 婚假通常需在领取结婚证后一定期限内申请（如1年内），需确认您是否符合条件；
     
   • 假期是否包含周末或法定节假日（部分地区规定连续计算，部分按工作日计算）。
     建议：查询当地《人口与计划生育条例》或拨打12333社保热线确认具体天数及申请时限。

3. 劳动合同终止与假期顺延问题
   若您在合同到期前申请婚假，但假期会延续至合同终止后，根据《劳动合同法》第45条，劳动合同期满时，若劳动者在孕期、产期、哺乳期或享受医疗期、工伤停工留薪期等法定情形，合同应顺延至相应情形消失。但婚假不属于法定顺延情形，因此公司可能以合同到期为由终止劳动关系，且无需支付假期工资。
   例外：若公司规章制度或集体合同明确约定“婚假可顺延至合同终止后”，则需按约定执行。
   建议：与公司协商，争取书面同意假期顺延或支付假期工资；若协商无果，需评估是否接受假期缩短或提前返岗。

4. 操作建议

   • 立即行动：尽快向公司提交婚假申请，并附上结婚证复印件，说明假期起止日期；
     
   • 协商沟通：与公司HR或领导说明情况，争取理解与支持，例如调整假期安排（如分阶段休假）；
     
   • 留存证据：保存申请记录、公司回复（邮件、微信等），以防纠纷；
     
   • 法律风险评估：若公司拒绝且您坚持休假，可能面临合同终止且无补偿的风险，需权衡利弊。

总结：能否请13天婚假需结合公司制度、当地政策及协商结果。建议优先与公司沟通，明确假期安排及合同终止后的处理方式，必要时可向我进一步咨询具体操作方案。