结论：事业编试用期没签劳动合同且一个月体检不合格，单位能否辞退需分情况讨论，主要取决于体检不合格是否属于不符合录用条件的情形，以及单位是否履行了相应的程序。

分析如下：

1. 关于未签劳动合同的问题：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。若事业编单位在试用期内未与劳动者签订劳动合同，这本身是违法的，但并不影响单位基于其他合法理由（如体检不合格且不符合录用条件）辞退劳动者的权利。不过，未签劳动合同可能意味着单位需要承担一定的法律责任，如支付双倍工资等，但这与辞退问题本身是分开的。

2. 关于体检不合格能否辞退的问题：

   • 若体检不合格属于不符合录用条件：根据《劳动合同法》第三十九条的规定，劳动者在试用期间被证明不符合录用条件的，用人单位可以解除劳动合同。因此，如果事业编单位在招聘时明确规定了体检标准，且劳动者的体检结果不符合这些标准，从而被认定为不符合录用条件，那么单位是有权辞退劳动者的。但单位需要确保体检标准的合法性和合理性，并且辞退决定需要基于客观、公正的体检结果。
   • 若体检不合格不属于不符合录用条件：如果体检不合格并不直接构成不符合录用条件的理由，或者单位在招聘时并未明确规定体检标准，那么单位就不能仅凭体检不合格就辞退劳动者。在这种情况下，单位可能需要与劳动者协商解决，或者根据其他合法理由（如劳动者不能胜任工作等）来考虑辞退问题。

3. 关于辞退程序的问题：

   • 无论体检不合格是否构成不符合录用条件的理由，单位在辞退劳动者时都需要遵循一定的程序。这通常包括向劳动者说明辞退的理由、听取劳动者的申辩、出具书面辞退通知等。如果单位未履行这些程序，就可能构成违法辞退，需要承担相应的法律责任。

建议：

• 对于劳动者而言，如果收到单位的辞退通知，并且认为辞退理由不成立或程序不合法，可以及时向单位提出异议，并保留好相关证据（如体检报告、辞退通知等）。如果协商无果，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。
• 对于单位而言，在辞退劳动者时需要确保辞退理由的合法性和合理性，并且遵循相应的程序。同时，建议单位在招聘时就明确规定体检标准等录用条件，以避免后续的纠纷和风险。

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