乡镇卫生院院长不能直接随意辞退合同工，其辞退行为必须严格遵循《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规的规定，确保合法性和合规性。以下从多个角度进行详细分析：

一、法定辞退情形

根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，用人单位（包括乡镇卫生院）在以下情形下可以解除劳动合同：

1. 在试用期间被证明不符合录用条件的：如果合同工在试用期内表现不佳，无法达到录用标准，乡镇卫生院有权辞退。
2. 严重违反用人单位的规章制度的：合同工若严重违反乡镇卫生院的规章制度，如旷工、偷窃、泄露机密等，卫生院可以辞退。
3. 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的：合同工因严重失职或营私舞弊行为给卫生院造成重大损失的，卫生院有权解除劳动合同。
4. 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的：如果合同工同时与其他单位建立劳动关系，且这种行为对卫生院的工作任务造成严重影响，或者卫生院提出后合同工拒不改正，卫生院可以辞退。
5. 因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的：如合同工以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使卫生院在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同的，卫生院可以解除劳动合同。
6. 被依法追究刑事责任的：合同工若被依法追究刑事责任，卫生院有权解除劳动合同。

二、特殊保护情形

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条，劳动者在以下情形下，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同：

1. 从事接触职业病危害作业的劳动者未进行离岗前职业健康检查，或者疑似职业病病人在诊断或者医学观察期间的：如果合同工从事接触职业病危害的作业，且未进行离岗前职业健康检查，或者疑似职业病病人在诊断或医学观察期间，卫生院不得辞退。
2. 在本单位患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力的：合同工若因工负伤或患职业病，且被确认丧失或部分丧失劳动能力，卫生院不得辞退。
3. 患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的：合同工在规定的医疗期内患病或非因工负伤的，卫生院不得辞退。
4. 女职工在孕期、产期、哺乳期的：女职工在孕期、产期、哺乳期的，卫生院不得辞退。
5. 在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年的：合同工若在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年，卫生院不得辞退。
6. 法律、行政法规规定的其他情形：如合同工享有其他法律、行政法规规定的特殊保护，卫生院也不得辞退。

三、辞退程序

除了法定情形外，乡镇卫生院在辞退合同工时还必须遵循法定的程序，包括但不限于：

1. 向员工说明理由：卫生院在辞退合同工前，应向其说明辞退的理由和依据。
2. 支付经济补偿：如果辞退行为符合支付经济补偿的情形，卫生院应依法支付经济补偿。
3. 履行提前通知义务：在经济性裁员等特殊情况下，卫生院需要提前通知工会，并向劳动行政部门报告。

四、法律后果与维权途径

如果合同工认为自己被无故辞退，他们可以通过多种合法途径来维护自身权益：

1. 协商：合同工可以尝试与卫生院进行协商，寻求和解。
2. 投诉：如果协商无果，合同工可以向当地的劳动监察部门投诉，请求介入调查。
3. 劳动仲裁或诉讼：合同工还可以选择申请劳动仲裁或提起诉讼，通过法律手段来维护自己的合法权益。

总结来说，乡镇卫生院院长不能直接随意辞退合同工，必须严格遵循相关法律法规的规定，确保辞退行为的合法性和合规性。如果合同工认为自己被无故辞退，应积极通过合法途径维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。