不依法履行法定职责，主要违反了《中华人民共和国行政诉讼法》以及相关的行政法律法规。以下从不同角度进行详细分析：
从行政诉讼法的角度：
- 法律依据：根据《中华人民共和国行政诉讼法》第十二条，人民法院受理公民、法人或者其他组织提起的诉讼，其中包括认为行政机关不依法履行、未按照约定履行或者违法变更、解除政府特许经营协议、土地房屋征收补偿协议等协议的。此外，该法还规定了行政机关及其工作人员在行使行政职权时侵犯公民、法人或其他组织合法权益的具体情形，这些情形中往往也包含了不依法履行法定职责的情况。
- 法律后果：如果行政机关不依法履行法定职责，公民、法人或其他组织有权向人民法院提起行政诉讼，要求行政机关履行职责或承担相应的法律责任。
从具体行政法律法规的角度：
- 各类行政法规：不同的行政领域有不同的行政法规，如《中华人民共和国治安管理处罚法》、《中华人民共和国税收征收管理法》等。这些法规中明确规定了行政机关的职责和权限，以及不履行职责的法律后果。例如，在税收征收管理领域，如果税务机关不依法履行税收征收职责，将面临法律追究。
- 部门规章：除了行政法规外，各部门还制定了相应的部门规章，对行政机关的职责和履行方式进行具体规定。这些规章同样具有法律效力，行政机关必须遵守。
从法律责任的角度：
- 行政责任：行政机关不依法履行法定职责，首先面临的是行政责任。这可能包括上级行政机关的责令改正、通报批评、行政处分等。
- 民事责任：在某些情况下，行政机关的不作为或违法作为可能给公民、法人或其他组织造成损失，此时行政机关可能需要承担民事赔偿责任。
- 刑事责任：在极端情况下，如果行政机关的不依法履行法定职责行为构成犯罪，如玩忽职守罪、滥用职权罪等，相关责任人员将面临刑事追究。
建议与行动指南：
- 如果您发现行政机关存在不依法履行法定职责的情况，首先可以尝试与行政机关进行沟通，要求其履行职责或给出合理解释。
- 如果沟通无果，您可以考虑向相关行政机关的上级部门或监察机关进行投诉或举报。
- 在必要时，您还可以向人民法院提起行政诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。
示例说明：
假设某市民发现其所在区域的环保部门对一家违法排放污染物的企业未采取任何处罚措施，这明显属于环保部门不依法履行法定职责的情况。该市民可以先向环保部门提出书面投诉，要求其依法履行职责。如果环保部门未予理会或处理不当，该市民可以向上一级环保部门或当地政府进行投诉，甚至可以向人民法院提起行政诉讼，要求环保部门承担相应的法律责任。