结论：劳动者在公司工作超过半年被开除，其赔偿情况主要取决于开除的原因。根据劳动法规定，公司可能无需支付赔偿、需支付经济补偿金或需支付双倍赔偿金。

一、公司合法解除且无需支付赔偿的情形

若劳动者存在以下过错情形之一，公司有权合法解除劳动合同，且无需支付任何经济补偿或赔偿：

1. 在试用期间被证明不符合录用条件；
2. 严重违反用人单位的规章制度；
3. 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害；
4. 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响，或经用人单位提出拒不改正；
5. 以欺诈、胁迫手段或乘人之危订立或变更劳动合同，导致合同无效；
6. 被依法追究刑事责任。

举例：小王在公司工作8个月，因严重违反公司规章制度被开除，且公司有充分证据证明其违规行为，那么公司无需支付任何赔偿。

二、公司应当支付经济补偿的情形

在以下非过错性情形下，公司解除劳动合同时需向劳动者支付经济补偿金：

1. 劳动者患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作；
2. 劳动者不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任；
3. 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，无法履行且协商未果。

经济补偿金计算：

• 按劳动者在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资作为补偿。
• 工作时间六个月以上不满一年的，按一年计算；
• 月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

举例：小李在公司工作9个月，因不能胜任工作且经培训后仍无法胜任被开除，公司应支付其1个月工资作为经济补偿金。

计算公式： \(经济补偿金 = 工作年限（年）\times 月工资\) （工作年限超过6个月按1年计算）

具体数值：若小李的月工资为5000元，则经济补偿金为5000元。

三、公司违法解除需支付赔偿金的情形

若公司违反《劳动合同法》规定解除劳动合同，劳动者有权选择继续履行合同或要求赔偿。劳动者不要求继续履行或合同已无法履行的，公司应按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。

举例：小张在公司工作10个月，公司无正当理由将其开除，属于违法解除劳动合同。若小张的月工资为6000元，则公司应支付其赔偿金为12000元（即1个月工资的经济补偿标准的二倍）。

计算公式： \(赔偿金 = 经济补偿金 \times 2\)

具体数值：若经济补偿金为5000元（如上述小李的情况，但此处为假设其为公司违法解除），则赔偿金为10000元；若如小张的情况，经济补偿金为6000元（实际应按1个月算，即6000元，但为说明计算方式，此处假设按某种情况算出经济补偿金为6000元对应的违法解除赔偿计算基础），则赔偿金为12000元（实际应为\(6000元（1个月工资，因工作9个月按1年算） \times 2 = 12000元\)）。

总结：公司在开除员工时，必须严格遵守法律规定。根据开除原因和劳动者工作年限的不同，公司可能需要支付经济补偿金或双倍赔偿金。劳动者在面对开除决定时，应了解自己的权益和义务，并在必要时直接向我咨询以维护自身合法权益。