核心结论：在私立学校工作5年后被辞退，学校应支付的赔偿金额取决于辞退的合法性及具体情形。若为违法辞退，赔偿金额通常为10个月工资（即2倍经济补偿金）；若为合法辞退但需支付经济补偿金，则金额为5个月工资。以下为具体分析：

一、违法辞退的情形及赔偿

1. 违法辞退的定义：

   • 若学校无法定理由（如严重违反规章制度、不能胜任工作等且已履行培训或调岗义务、经济性裁员等法定情形）或未遵循法定程序（如未提前30日通知、未支付代通知金等）辞退您，则构成违法辞退。

2. 赔偿标准：

   • 根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位违法解除或终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 经济补偿标准：按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。
   • 计算公式：赔偿金 = 工作年限 × 月工资 × 2 = 5年 × 月工资 × 2 = 10个月工资。

3. 月工资的定义：

   • 月工资是指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资，包括计时工资、计件工资、奖金、津贴和补贴等货币性收入。

二、合法辞退但需支付经济补偿金的情形及赔偿

1. 合法辞退的定义：

   • 若学校因法定理由（如您严重违反规章制度、不能胜任工作且已履行培训或调岗义务、经济性裁员等）且遵循法定程序辞退您，则构成合法辞退，但需支付经济补偿金。

2. 经济补偿金标准：

   • 根据《劳动合同法》第四十六条、第四十七条，用人单位依法解除劳动合同的，应当向劳动者支付经济补偿。
   • 经济补偿标准同上，即按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。
   • 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资 = 5年 × 月工资 = 5个月工资。

三、其他注意事项

1. 举证责任：

   • 若您主张学校违法辞退，需承担举证责任，证明学校无法定理由或未遵循法定程序辞退您。
   • 学校若主张合法辞退，亦需承担举证责任，证明其辞退行为符合法定情形且程序合法。

2. 协商与调解：

   • 在发生争议后，您可与学校协商解决，或向当地劳动争议调解组织申请调解。

3. 仲裁与诉讼：

   • 若协商、调解无果，您可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁裁决不服的，还可向人民法院提起诉讼。

建议：鉴于劳动争议案件的复杂性，建议您在发生争议后及时收集相关证据（如劳动合同、辞退通知、工资单等），并咨询专业律师以获取更具体的法律建议。若您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。