复议机关在发现新的案件事实后，决定撤销原复议决定的法律依据主要来源于《中华人民共和国行政复议法》的相关规定。具体分析如下：

1. 《中华人民共和国行政复议法》的相关规定：

   • 根据《中华人民共和国行政复议法》第六十三条：“行政复议机关受理行政复议申请后，发现该行政复议申请不符合本法规定的受理条件的，行政复议机关应当决定驳回该行政复议申请。行政复议机关受理行政复议申请后，发现被申请人不履行法定职责的，应当决定其在一定期限内履行；发现原行政行为违法或者不当的，应当在决定撤销或者变更该行政行为的决定中，责令被申请人采取补救措施。行政复议机关在审查过程中，如果发现新的证据或者事实，足以影响原行政行为合法性的，可以决定撤销、变更或者确认原行政行为违法”。这一条款明确赋予了复议机关在发现新事实或证据时，对原行政行为进行重新审查并作出相应决定的权力。

2. 复议机关撤销复议决定的情形：

   • 当复议机关在审查过程中发现新的案件事实，且这些事实足以改变原复议决定的基础或结论时，复议机关有权决定撤销原复议决定。例如，如果原复议决定是基于错误的事实认定或法律适用而作出的，复议机关在发现新的正确事实或法律适用后，应当撤销原决定，并重新作出正确的复议决定。

3. 复议机关撤销复议决定的程序要求：

   • 复议机关在决定撤销原复议决定时，应当遵循法定程序，包括通知申请人、被申请人及其他参加人，听取他们的意见，并重新进行审查。在撤销原决定后，复议机关可以根据新的案件事实和法律规定，重新作出复议决定，或者将案件发回原行政机关重新处理。

4. 实际操作中的注意事项：

   • 证据收集与审查：复议机关在发现新事实时，应确保这些事实有充分的证据支持，并对证据进行严格审查，以确保其真实性和合法性。
   • 法律适用：复议机关在撤销原决定并重新作出决定时，应准确适用相关法律法规，确保决定的合法性和合理性。
   • 当事人权益保护：在撤销原决定的过程中，复议机关应充分保护当事人的合法权益，确保他们的陈述权、申辩权等得到充分行使。

举例说明：假设某公民对某行政机关的处罚决定不服，向复议机关申请复议。复议机关在审查过程中发现，原行政机关在作出处罚决定时，遗漏了重要的证据或事实，导致处罚决定显失公正。此时，复议机关可以依据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，决定撤销原处罚决定，并要求原行政机关重新作出处罚决定，或者复议机关直接根据新的证据和事实重新作出复议决定。

总结与建议：复议机关在发现新的案件事实后，有权决定撤销原复议决定，并重新作出正确的决定。这一过程应严格遵循法定程序，确保决定的合法性和合理性。如果您在复议过程中遇到类似问题，或者对复议程序有任何疑问，欢迎直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。