如果遇到政府执法部门违法不究的情况，可以采取以下措施来维护自身合法权益，核心结论是可以通过投诉举报、申请行政复议、提起行政诉讼等途径来推动问题解决，以下是具体说明：

1. 投诉举报
   • 向上一级主管部门反映：每个政府执法部门通常都有其上一级主管部门，例如，如果是区级的市场监管部门违法不究，可以向市级的市场监管部门进行投诉举报。在投诉举报时，要尽可能详细地提供相关证据，如执法部门不作为的具体事实、时间、地点，以及涉及的相关法律法规条款等，以便上级部门能够准确了解情况并进行调查处理。
   • 向纪检监察机关举报：如果执法部门的不作为涉及到公职人员的违法违纪行为，如滥用职权、玩忽职守等，可以向纪检监察机关进行举报。纪检监察机关有权对公职人员的行为进行监督和调查，对违法违纪行为进行处分。举报时需要提供具体的线索和证据，以确保举报的有效性。
2. 申请行政复议
   • 适用情况：如果认为执法部门的不作为侵犯了自己的合法权益，可以在知道该不作为行为之日起60日内，向有管辖权的行政复议机关提出行政复议申请。例如，对于环保部门对污染企业的违法排放行为不进行查处，导致周边居民的生活环境受到严重影响，周边居民就可以向对该环保部门有管辖权的政府或上级环保部门申请行政复议。
   • 申请流程：需要提交行政复议申请书，说明申请人的基本情况、被申请人的名称、行政复议请求、申请行政复议的主要事实和理由等。同时，要附上相关证据材料，如证明执法部门不作为的证据、自身权益受到侵害的证据等。行政复议机关会在受理申请后进行审查，并在一定期限内作出行政复议决定。
3. 提起行政诉讼
   • 适用情况：如果对行政复议结果不满意，或者认为执法部门的不作为直接侵犯了自己的合法权益且不符合行政复议受理条件等情况，可以在知道或者应当知道作出行政行为之日起6个月内，向人民法院提起行政诉讼。例如，对于城管部门对违法建筑不进行拆除，导致周边居民的采光、通风等权益受到侵害，居民在经过投诉举报、行政复议等途径仍未解决问题后，可以向法院提起行政诉讼。
   • 诉讼流程：需要向有管辖权的人民法院提交起诉状，起诉状中要写明原告和被告的基本信息、诉讼请求、事实与理由等内容，并附上相关证据材料。法院受理案件后，会进行审理，并根据审理情况作出判决。如果对一审判决不服，还可以在规定期限内提起上诉。

在处理这类问题时，要注意保留好相关证据，如与执法部门的沟通记录、现场照片、视频等，以便在后续的投诉举报、行政复议或行政诉讼中能够有力地证明自己的主张。如果你还有其他疑问或需要进一步的帮助，可以直接向我咨询。