结论：员工在第五年未签合同但继续上班的情况下被辞退，是否合法需分情况讨论。一般来说，若用人单位未与员工签订书面劳动合同且无法证明已提出签订而员工拒绝，用人单位可能面临支付双倍工资等法律责任；但若用人单位能证明已尽到签订合同的义务或存在其他合法辞退情形，则辞退可能合法。
分析：
未签劳动合同的法律后果：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 在您描述的情况下，员工已经连续签订了四年的劳动合同，第五年未签但继续上班，这构成了用人单位未与劳动者签订书面劳动合同的事实。如果用人单位无法证明已经提出与员工签订劳动合同而员工拒绝，那么用人单位可能需要承担支付双倍工资的法律责任。
辞退的合法性：
- 辞退是否合法，取决于辞退的原因和程序是否符合法律规定。如果用人单位是因为员工存在严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊等行为而辞退员工，且这些行为有充分的证据支持，那么辞退可能是合法的。
- 如果用人单位无法提供合法辞退的证据，或者辞退程序不符合法律规定（如未提前通知、未支付经济补偿等），那么辞退可能是违法的。在未签劳动合同的情况下，如果用人单位直接辞退员工，且无法证明辞退的合法性，那么员工有权要求用人单位支付违法辞退的赔偿金。
特殊情况考虑：
- 如果用人单位能够证明，在第五年合同到期前，已经向员工提出了签订新的劳动合同，但员工拒绝签订，且用人单位已经采取了合理的措施（如书面通知、留存证据等），那么在这种情况下，用人单位辞退员工可能不会被视为违法。但即便如此，用人单位也可能需要支付员工一定的经济补偿，具体取决于当地法律法规的规定。
建议：
- 对于员工而言，如果认为自己被违法辞退，可以收集相关证据（如工作记录、工资单、未签合同的证明等），向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求用人单位支付双倍工资、违法辞退的赔偿金等。
- 对于用人单位而言，为了避免类似的法律纠纷，应当及时与员工签订书面劳动合同，并保留好相关证据。如果员工拒绝签订合同，用人单位应当采取合理的措施，如书面通知员工签订合同、留存通知证据等，以证明自己已经尽到了签订合同的义务。
后续行动：
- 如果您是员工，且认为自己被违法辞退，建议尽快咨询专业律师，了解自己的权益和维权途径。
- 如果您是用人单位，且面临类似的法律纠纷，也建议咨询专业律师，了解如何应对和解决纠纷。
有问题可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。