在判决第三方生效判决承担连带责任的情况下，既可以选择申请执行，也可以选择追加被执行人，具体取决于案件的具体情况和执行策略。以下是对这两种方式的详细分析：
申请执行
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，当判决生效后，债权人（即原告）有权向法院申请执行，要求债务人（包括承担连带责任的第三方）履行判决确定的义务。
操作流程：
- 债权人需准备执行申请书、生效判决书、身份证明等材料，向有管辖权的法院（通常为第一审人民法院或者与其同级的被执行的财产所在地人民法院）提交执行申请。
- 法院受理执行申请后，会依法对被执行人的财产进行查封、扣押、冻结等措施，并强制其履行判决义务。
适用情况：
- 当债权人希望直接针对承担连带责任的第三方进行执行，且该第三方有明确的财产可供执行时，申请执行是一个直接且有效的方式。
追加被执行人
法律依据：
- 在执行过程中，如果发现原判决中未明确列为被执行人的第三方（如承担连带责任的保证人、共同债务人等）有财产可供执行，且根据法律规定或判决内容，该第三方应承担连带责任，债权人可以向法院申请追加该第三方为被执行人。
- 这一做法的依据主要来源于《最高人民法院关于民事执行中变更、追加当事人若干问题的规定》等相关司法解释。
操作流程：
- 债权人需准备追加被执行人申请书、生效判决书、证明第三方应承担连带责任的证据材料等，向执行法院提交追加申请。
- 法院会对申请进行审查，如果认为符合追加条件，会裁定追加该第三方为被执行人，并依法对其财产进行执行。
适用情况：
- 当原判决中未明确将承担连带责任的第三方列为被执行人，但债权人发现该第三方有财产可供执行时，可以通过追加被执行人的方式来实现债权。
- 这种方式特别适用于原判决中仅列明了部分债务人，而遗漏了其他应承担连带责任的债务人的情况。
综合建议
- 选择策略：债权人应根据案件的具体情况、被执行人的财产状况以及执行效率等因素综合考虑选择申请执行还是追加被执行人。
- 及时行动：无论选择哪种方式，债权人都应及时向法院提交相关申请，并积极配合法院的执行工作，以尽快实现债权。
- 法律咨询：在执行过程中遇到任何问题或困惑，债权人都可以随时向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议和帮助。
希望以上分析能对你有所帮助。如果你有任何其他法律问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。