结论：在私立医院工作，您是可以请病假的，但能否成功请到病假取决于私立医院开具的病假条是否符合法律法规、用人单位的规章制度，并且确保其真实性和有效性。以下从多个角度为您详细分析：
法律法规层面
根据我国相关法律法规，劳动者享有休息休假的权利，这包括因病需要请假进行治疗和休养。私立医院作为合法设立且具备相应医疗资质的医疗机构，其依据诊疗规范和实际病情为患者开具的病假条，在法律上具有证明效力，能够作为劳动者因病需要休息的合理凭证。因此，从法律层面看，私立医院的病假条并不因其私立性质而自动失去法律效力。
用人单位规章制度层面
尽管私立医院病假条具有法律上的证明力，但用人单位的规章制度在实际操作中起着重要作用。不同单位对于病假条的要求可能有所不同：
允许使用私立医院病假条：部分单位较为人性化和灵活，认可合法私立医院开具的病假条。在这种情况下，您只需按照单位规定的请假流程提交病假条及其他可能要求的材料（如挂号单、病历等），即可请病假。
有限制条件使用私立医院病假条：有些单位可能规定必须是指定的医疗机构（如特定公立医院或级别医院）开具的病假条才有效。这种规定通常是出于确保病假真实性、便于核实等考虑。如果您的单位有此类规定，并且私立医院不在指定范围内，那么您提供的病假条可能不被认可。但请注意，此类规定需经过民主程序制定并向员工公示，才具有合法性和有效性。
不允许使用私立医院病假条：极少数单位可能直接规定只认可公立医院开具的病假条。然而，这种排除合法私立医院病假条的规定，可能因违反法律法规关于劳动者权益保护的原则而存在合法性问题。
病假条的真实性与有效性层面
无论病假条来自公立医院还是私立医院，其真实性和有效性都是至关重要的。如果病假条存在伪造、篡改或虚假开具的情况，那么它不应被接受为有效的请假依据。用人单位有权对病假条的真实性进行核实，包括但不限于要求您提供进一步的医疗证明或联系医院进行确认。
争议解决途径
如果您与单位就私立医院病假条能否请病假产生争议，您可以通过以下途径来维护自己的合法权益：
与单位协商沟通：尝试与单位达成共识，解释私立医院病假条的法律效力和您的实际情况。
向劳动监察部门投诉：如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉，寻求行政干预。
申请劳动仲裁：如果争议仍然无法解决，您可以申请劳动仲裁，通过法律途径解决争议。
建议：在请病假前，建议您先了解所在单位的规章制度，确认私立医院病假条是否被认可。同时，确保病假条的真实性和有效性，避免不必要的麻烦。如果您有任何疑问或需要进一步的法律指导，请随时向我咨询。