结论：第三方劳务派遣员工请病假是否需要书面申请，需结合劳务派遣协议约定、用工单位规章制度以及地方性法规综合判断，以下分情况说明：

1. 劳务派遣协议有明确约定时
   若劳务派遣单位（用人单位）与用工单位签订的《劳务派遣协议》中明确规定“员工请病假需提交书面申请”，则派遣员工需遵守该约定。例如，协议可能要求员工填写统一格式的病假申请表，并附医疗机构出具的病假证明（如诊断书、病假条），否则可能被认定为旷工。

2. 用工单位规章制度有要求时
   根据《劳动合同法》第59条，劳务派遣员工需同时遵守用工单位的劳动纪律和规章制度。若用工单位明确要求“病假需书面申请”，且该制度已通过民主程序制定并公示（如员工手册签字确认、内部系统公告等），则派遣员工需按此流程操作。例如，某企业规定“口头请假仅限紧急情况，事后24小时内需补交书面申请”，否则按事假或旷工处理。

3. 地方性法规有特殊规定时
   部分地区对病假申请形式有强制性要求。例如，《江苏省工资支付条例》第27条规定，员工因病或非因工负伤需暂停工作医疗时，应提供医疗机构出具的病假证明并办理请假手续。若地方性法规明确要求“书面形式”，则派遣员工需遵守；若未明确，则口头或电子形式（如邮件、企业微信）可能被认可，但建议优先选择书面形式以避免纠纷。

实务建议：

• 优先查看协议与制度：派遣员工应首先查阅《劳务派遣协议》和用工单位规章制度，确认病假申请的具体要求；
  
• 保留证据：即使允许口头请假，也建议通过短信、邮件等方式补确认，并留存医疗机构出具的病假证明；
  
• 协商沟通：若因客观原因无法及时提交书面申请（如突发疾病），可先口头告知直属领导或HR，事后尽快补交材料，避免被认定为旷工。
  

如有进一步疑问（如病假工资计算、医疗期认定等），可直接向我咨询。