核心结论：第三方劳务派遣员工能否请病假十五天，需结合具体法律法规、劳务派遣协议及用工单位规章制度综合判断，以下分情况说明：

1. 法律法规层面
   根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，医疗期长度与员工实际工作年限和本单位工作年限挂钩：
   

• 实际工作年限10年以下，在本单位工作5年以下的，医疗期为3个月（按6个月内累计病休时间计算）；
  
• 实际工作年限10年以上，在本单位工作5年以下的，医疗期为6个月（按12个月内累计病休时间计算）。
  若15天病假未超过员工依法享有的医疗期，且符合病假申请条件（如提供医院证明），则合法有效。

1. 劳务派遣协议层面
   劳务派遣单位（用人单位）与用工单位签订的《劳务派遣协议》可能对病假规则作出额外约定，例如：
   

• 约定病假工资支付标准（如按当地最低工资80%发放）；
  
• 约定病假审批流程（如需用工单位签字确认）；
  
• 约定超期病假的处理方式（如退回劳务派遣单位或解除劳动合同）。
  若协议未剥夺员工法定病假权利，且15天病假符合协议流程，则可行；若协议条款与法律冲突（如缩短医疗期），则以法律为准。

1. 用工单位规章制度层面
   用工单位可能制定内部病假管理制度，例如：
   

• 要求员工提交指定医院的诊断证明；
  
• 规定单次病假最长天数（如不超过10天，需分段申请）；
  
• 明确病假期间的工作交接要求。
  若15天病假违反用工单位合理制度（如未提交证明或未交接工作），用工单位可拒绝批准或按违纪处理；但制度本身需符合法律程序（如经民主公示），否则无效。

行动建议：

1. 优先确认自身实际工作年限及本单位工作年限，计算法定医疗期是否覆盖15天；
   
2. 查阅劳务派遣协议及用工单位规章制度，明确病假申请流程及限制条件；
   
3. 及时向劳务派遣单位提交医院出具的《病假证明单》及诊断记录，保留书面申请凭证；
   
4. 若遇单位拒绝批准或威胁解除合同，可依据《劳动合同法》第62条（用工单位不得侵害劳动者合法权益）主张权利。
   

如有进一步细节需分析（如单位具体规定、病假证明真实性争议等），可直接向我咨询。