在私人医院受伤后的赔偿问题，需根据具体受伤原因、医院过错程度及法律规定综合判断。以下是具体分析：

1. 医疗损害责任赔偿
   若受伤系因医院诊疗行为存在过错（如误诊、手术失误、用药错误等），根据《民法典》第1218条，医院需承担与其过错程度相应的赔偿责任。赔偿范围包括：

   • 直接损失：医疗费、护理费、交通费、营养费等实际支出；
     
   • 间接损失：误工费、残疾赔偿金（若构成伤残）、后续治疗费等；
     
   • 精神损害赔偿：若因医院过错导致严重精神损害（如毁容、残疾等），可主张精神抚慰金。
     关键点：需通过医疗事故技术鉴定或司法鉴定明确医院过错及因果关系，否则可能面临举证困难。

2. 产品责任赔偿
   若受伤系因医院使用的药品、医疗器械存在缺陷（如假药、劣质植入物等），根据《民法典》第1203条，患者可直接向生产者或销售者（包括医院）主张赔偿，赔偿范围与医疗损害责任类似。
   关键点：需证明产品存在缺陷且缺陷与损害之间存在因果关系，通常需通过专业机构检测或鉴定。

3. 安全保障义务责任赔偿
   若受伤系因医院未尽到安全保障义务（如地面湿滑导致摔倒、设施故障导致意外等），根据《民法典》第1198条，医院需承担侵权责任。赔偿范围包括：

   • 人身损害赔偿：医疗费、误工费、残疾赔偿金等；
     
   • 财产损失赔偿：如因摔倒导致手机损坏等。
     关键点：需证明医院存在管理疏漏或设施缺陷，且该缺陷与损害之间存在直接因果关系。

行动建议：

1. 固定证据：立即保存病历、检查报告、缴费凭证、现场照片或视频等证据；
   
2. 鉴定因果关系：通过医疗事故鉴定或司法鉴定明确医院过错或产品缺陷；
   
3. 协商或诉讼：根据鉴定结果与医院协商赔偿，若协商不成可向法院起诉；
   
4. 注意时效：医疗损害赔偿诉讼时效为3年，自知道或应当知道权益受损之日起计算。
   

若涉及复杂情况（如医院拒不承认过错、赔偿金额争议大等），可进一步向我咨询具体应对策略。