公安局出具不予侦查通知书的法律依据主要来源于《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释的规定。以下是对此问题的详细解答：

1. 法律依据概述：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关在接到报案、控告、举报或自首材料后，应当迅速进行审查。经过审查，如果认为有犯罪事实需要追究刑事责任，且属于自己管辖的，应当立案；如果认为没有犯罪事实，或者犯罪事实显著轻微不需要追究刑事责任，或者具有其他依法不追究刑事责任情形的，则不予立案。在不予立案的情况下，公安机关会出具不予侦查通知书（或更常见的是不予立案通知书，因为“不予侦查”这一表述在正式法律文书中并不常见，通常是在不予立案后即不再进行侦查活动）。

2. 不予立案的具体情形：

   • 没有犯罪事实：即经审查认为报案、控告、举报或自首的材料中，没有证据表明有犯罪行为发生。
   • 犯罪事实显著轻微不需要追究刑事责任：即使存在犯罪事实，但情节显著轻微，根据法律规定不需要追究刑事责任。
   • 其他依法不追究刑事责任情形：这包括但不限于犯罪已过追诉时效期限、经特赦令免除刑罚、依照刑法告诉才处理的犯罪没有告诉或撤回告诉、犯罪嫌疑人死亡等情形。

3. 不予侦查通知书的出具程序：

   • 公安机关在作出不予立案决定后，应当制作不予立案通知书，并在三日以内送达控告人。控告人如果不服，可以申请复议，公安机关应当在收到复议申请后七日以内作出决定，并书面通知控告人。

4. 法律后果与救济途径：

   • 对于公安机关不予立案的决定，控告人如果不服，除了可以申请复议外，还可以向人民检察院提出申诉，请求人民检察院对公安机关的不予立案决定进行监督。人民检察院认为公安机关不予立案决定不当的，应当通知公安机关立案，公安机关接到通知后应当立案。

举例说明： 假设某人向公安机关报案称自己遭受了诈骗，但公安机关经过调查后发现，报案人提供的证据不足以证明有诈骗行为发生，或者即使存在诈骗行为，但涉案金额极小，情节显著轻微，不需要追究刑事责任。在这种情况下，公安机关就会出具不予立案通知书（即不予侦查的实质表现），并告知报案人相关权利及救济途径。

总结与建议： 公安局出具不予侦查通知书（或更准确地说是不予立案通知书）是依据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释的规定进行的。如果您或他人遇到了类似情况，对公安机关的决定有异议，建议及时咨询专业律师，了解具体的法律程序和救济途径，以维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。