老百姓自己养的家畜被国家保护动物杀了，一般情况下，国家并不直接承担赔偿责任，但可以根据具体情况考虑申请政府补偿。以下从不同角度为您详细分析：

一、国家保护动物致害的法律性质

国家保护动物，如野生动物，属于国家所有，其管理、保护等职责由相关部门承担。当这些动物造成损害时，从法律性质上讲，并不直接等同于国家或政府的行为导致损害，因此不直接适用国家赔偿。然而，考虑到野生动物保护与公民财产权益之间的平衡，法律也规定了相应的补偿机制。

二、国家补偿的法律依据

根据《中华人民共和国野生动物保护法》的相关规定，因保护国家和地方重点保护野生动物，造成农作物或者其他损失的，由当地政府给予补偿。这一规定明确了在特定情况下，政府有义务对因保护野生动物而遭受损失的公民进行补偿。

三、申请政府补偿的条件与流程

1. 条件：

   • 损害必须是由国家保护动物造成的；
   • 损害必须发生在保护野生动物的过程中或因保护野生动物的需要；
   • 损害必须是实际发生的，且能够证明其与国家保护动物的行为有直接因果关系。

2. 流程：

   • 及时报告：在发现家畜被国家保护动物杀害后，应立即向当地林业部门或野生动物保护机构报告，以便他们及时进行现场勘查和确认。
   • 提交申请：根据当地政府或相关部门的要求，提交补偿申请，并提供相关证据，如现场照片、视频、证人证言等，以证明损害的发生和与国家保护动物的因果关系。
   • 审核与补偿：相关部门会对申请进行审核，并根据实际情况决定是否给予补偿以及补偿的金额。补偿方式可能包括现金补偿、实物补偿或其他形式的补偿。

四、实际案例与操作建议

在实际操作中，由于各地对野生动物保护法的实施细则和补偿标准可能有所不同，因此建议您在遭遇此类情况时：

1. 及时咨询：首先向当地林业部门或野生动物保护机构咨询具体的补偿政策和流程。
2. 保留证据：尽可能保留现场证据，如照片、视频等，以便在申请补偿时提供有力支持。
3. 积极沟通：与相关部门保持积极沟通，了解补偿进展情况，并根据需要提供补充材料或信息。

五、特殊情况下的处理

如果损害是由非国家保护动物（如流浪动物或私人饲养的动物）造成的，那么责任将由这些动物的饲养人或管理人承担。在这种情况下，您可以根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，向饲养人或管理人主张赔偿。

总结来说，当老百姓自己养的家畜被国家保护动物杀害时，虽然国家不直接承担赔偿责任，但您可以根据相关法律法规申请政府补偿。在处理此类情况时，建议您及时咨询相关部门、保留证据并积极沟通，以便更好地维护自己的合法权益。如果您有任何进一步的疑问或需要法律帮助，请随时向我咨询。