结论前置：劳动合同到期时，公司终止与员工的劳动关系，并非简单的“开除”行为，而是需要依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定进行操作。一般情况下，公司可以终止劳动合同，但需支付经济补偿；若员工存在法定情形，则公司不得终止；对于工伤员工，还有特殊的处理规定。

一、一般情况下的劳动合同终止与经济补偿

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满的，劳动合同自然终止。但除非公司维持或提高劳动合同约定条件续订而员工不同意，否则公司需向员工支付经济补偿。经济补偿的标准通常按照员工在本单位的工作年限来计算，每满一年支付一个月工资。例如，若员工与公司签订了为期三年的劳动合同，合同到期后公司决定不再续签，那么公司应支付员工三个月工资作为经济补偿。

计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（工作年限按满一年计算一个月，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资）

二、存在法定情形时的劳动合同续延

即使劳动合同到期，如果员工存在以下任一情形，公司也不能依照劳动合同期满的规定终止劳动合同，而应续延至相应情形消失时为止：

1. 从事接触职业病危害作业的劳动者未进行离岗前职业健康检查，或疑似职业病病人在诊断或医学观察期间；
2. 在本单位患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力；
3. 患病或非因工负伤，在规定的医疗期内；
4. 女职工在孕期、产期、哺乳期；
5. 在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年；
6. 法律、行政法规规定的其他情形。

以一名在孕期的女员工为例，若其劳动合同即将到期，公司就不能终止与她的劳动合同，必须等到她孕期、产期、哺乳期结束后再做处理。

三、工伤员工的特殊处理

对于因工致残的员工，根据其伤残等级有不同的处理规定：

• 被鉴定为一级至四级伤残的，保留劳动关系并退出工作岗位，不存在劳动合同到期终止的问题；
• 被鉴定为五级、六级伤残的，保留劳动关系并由公司安排适当工作。难以安排的，由公司按月发给伤残津贴。经工伤员工本人提出，可以与公司解除或终止劳动关系；
• 被鉴定为七级至十级伤残的，劳动合同期满可以终止，或由员工本人提出解除劳动合同。此时，由工伤保险基金支付一次性工伤医疗补助金，公司支付一次性伤残就业补助金。

例如，若一名员工在公司工作时发生工伤被鉴定为七级伤残，劳动合同到期后公司可以终止与他的劳动合同，但需按规定支付一次性伤残就业补助金，同时该员工可从工伤保险基金获得一次性工伤医疗补助金。

四、公司决策前的注意事项

公司在做出终止劳动合同的决策时，必须确保该决策基于合法的考虑，不违反任何劳动法规定，如歧视、不公平对待或其他违法行为。否则，公司可能面临法律风险，如支付赔偿金等。

综上所述，劳动合同到期时公司终止与员工的劳动关系是一个涉及多个法律知识点的复杂问题。公司应严格按照法律规定操作，确保决策的合法性和合规性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。