您有权要求公司不公开您的健康证信息，但具体能否实现需分情况讨论：

1. 健康证信息的性质
   健康证包含您的个人隐私信息（如体检结果、疾病史等），属于《民法典》第1032条保护的“隐私权”范畴。公司未经您同意，不得非法公开或泄露此类信息，否则可能构成侵权。

2. 公司公开健康证的合法性边界

   • 法定披露情形：若法律、行政法规明确要求公司公示健康证（如食品行业从业人员的健康证需公示于经营场所），则公司有权公开，但需严格限定公示范围（如仅公示健康证编号、有效期等非敏感信息）。
     
   • 内部管理需要：若公司仅因内部管理（如存档、核对资质）需要使用健康证，则无权向第三方或无关员工公开您的完整信息。
     
   • 员工同意原则：除法定情形外，公司公开健康证必须征得您书面同意，且公开内容需与目的直接相关（如仅公示“已通过体检”而非详细体检报告）。

3. 您的权利救济途径

   • 协商解决：可要求公司签署保密协议，明确健康证的使用范围、公开方式及违约责任。
     
   • 投诉举报：若公司非法公开，可向劳动监察部门投诉（依据《劳动合同法》第88条），或向网信、市场监管部门举报（若涉及网络传播）。
     
   • 诉讼维权：若因信息泄露遭受损害（如名誉权受损、就业歧视），可起诉公司要求停止侵害、赔偿损失（《民法典》第995条、第1182条）。

建议：

• 书面告知公司您的隐私保护需求，保留沟通记录；
  
• 核对公司要求公开的依据（如行业法规、内部制度），评估其合理性；
  
• 若公司坚持违法公开，及时通过法律途径主张权利。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体场景下的应对策略。