结论：在工厂上班第一天受伤，公司是否有责任需根据具体情况判断。若存在劳动关系且符合工伤认定条件，公司需承担相应责任；若不存在劳动关系（如雇佣关系），则公司按过错承担赔偿责任。以下是对此问题的详细分析：

一、存在劳动关系的情况

1. 工伤认定：

   • 根据《工伤保险条例》第十四条，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。因此，在工厂上班第一天因工作原因受伤，通常应被认定为工伤。

2. 公司责任：

   • 若公司依法为员工缴纳了工伤保险，工伤保险基金将支付治疗工伤的医疗费用、康复费用等，公司则需承担停工留薪期内的工资福利待遇等。
   • 若公司未依法缴纳工伤保险，所有应由工伤保险基金支付的费用将由公司自行承担。

二、不存在劳动关系的情况（如雇佣关系）

1. 责任归属：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十二条，提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方各自的过错承担相应的责任。即若不存在劳动关系，而是雇佣关系，公司（雇主）需按过错程度承担赔偿责任，受伤员工自身有过错的也需分担责任。

2. 赔偿范围：

   • 赔偿范围可能包括医疗费、误工费、护理费等，具体根据双方过错程度和实际损失确定。

三、特殊情况：第三人侵权

• 若员工受伤是由第三人侵权造成的，在认定为工伤的情况下，员工既可要求侵权第三人承担民事赔偿责任，也可享受工伤保险待遇（但部分赔偿项目如医疗费用等不重复支付）。

四、建议与行动

1. 及时报告与就医：

   • 受伤后应立即报告公司，并尽快就医治疗，保留好相关医疗记录和费用单据。

2. 申请工伤认定：

   • 若存在劳动关系，应尽快向当地社会保险行政部门申请工伤认定，以便享受工伤保险待遇。

3. 协商与调解：

   • 在责任归属和赔偿问题上，可与公司进行协商或寻求调解，以达成双方都能接受的解决方案。

4. 法律途径：

   • 若协商、调解不成，可依法向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，维护自身合法权益。

总结：在工厂上班第一天受伤，公司是否有责任需根据具体情况判断。建议受伤员工及时了解自己的权益和保障途径，与公司进行沟通协商，并在必要时寻求法律帮助。如果你有进一步的法律问题或需要更具体的建议，可以直接向我咨询。