结论：药房连锁店分店发生消费者在该店被开水烫伤，责任由谁负担需根据具体情况判断，可能涉及药房、消费者自身或其他第三方责任。以下从不同角度进行分析：
一、药房的责任
安全保障义务：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。
- 药房作为经营场所，有义务为消费者提供一个安全的购物环境。如果开水烫伤事件是由于药房未尽到安全保障义务（如地面湿滑未及时清理、开水放置位置不当等）导致的，药房应承担相应的赔偿责任。
产品责任：
- 如果烫伤是由药房提供的开水或相关产品（如热水瓶、饮水机等）存在缺陷或质量问题导致的，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百零三条，因产品存在缺陷造成他人损害的，被侵权人可以向产品的生产者请求赔偿，也可以向产品的销售者请求赔偿。
- 在此情况下，药房作为销售者，如果无法证明产品缺陷非自身原因造成，应承担赔偿责任。
二、消费者自身的责任
过错责任：
- 如果烫伤事件是由于消费者自身过错（如故意触碰开水、未注意周围环境等）导致的，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十四条，损害是因受害人故意造成的，行为人不承担责任。
- 在此情况下，消费者应自行承担责任，药房不承担赔偿责任。
过失相抵：
- 如果烫伤事件是由于药房和消费者双方都有过错导致的，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十三条，被侵权人对同一损害的发生或者扩大有过错的，可以减轻侵权人的责任。
- 在此情况下，药房和消费者应根据各自的过错程度承担相应的责任。
三、其他第三方的责任
第三方行为：
- 如果烫伤事件是由第三方（如其他顾客、药房员工以外的其他人）的行为导致的，且药房已尽到安全保障义务，那么责任应由第三方承担。
- 药房在承担赔偿责任后，如果能够证明损害是由第三方造成的，有权向第三方追偿。
不可抗力：
- 如果烫伤事件是由不可抗力（如自然灾害、意外事件等）导致的，且药房已尽到合理的安全保障义务，那么药房不承担赔偿责任。
法律建议
收集证据：
- 发生烫伤事件后，消费者应尽快收集相关证据，如现场照片、视频、医疗记录、证人证言等，以证明烫伤的原因和损害程度。
协商解决：
- 消费者可以与药房协商解决赔偿事宜，提出合理的赔偿要求，并尝试达成和解协议。
法律途径：
- 如果协商无果，消费者可以向人民法院提起诉讼，要求药房承担相应的赔偿责任。在诉讼过程中，消费者应提供充分的证据证明药房存在过错或未尽到安全保障义务。
咨询专业律师：
- 在处理此类纠纷时，建议消费者咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助。作为专业律师，我可以为你提供知识产权、侵权纠纷、劳动纠纷领域的法律咨询和帮助。
总结：药房连锁店分店发生消费者在该店被开水烫伤的责任归属需根据具体情况判断。在处理此类纠纷时，应综合考虑药房的安全保障义务、消费者的自身过错、其他第三方的行为以及不可抗力等因素。如有需要，请直接向我咨询相关法律问题。