核心结论：将他人打伤后逃往外地，并不能逃避法律责任，反而可能因逃避行为面临更严重的处罚。具体处理方式需根据伤情鉴定结果、案件性质以及你的行为表现等多方面因素综合判断。以下分情况详细说明：

1. 若伤情鉴定为轻微伤：

   • 民事责任：你需承担对方的医疗费、误工费、护理费等合理费用。这些费用可以通过协商、调解或诉讼等方式解决。
   • 行政责任：根据《治安管理处罚法》，你可能面临五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。即使你逃往外地，公安机关仍可通过侦查手段找到你，并对你进行处罚。

2. 若伤情鉴定为轻伤或重伤：

   • 刑事责任：你的行为可能构成故意伤害罪。根据《刑法》，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。逃往外地并不能改变这一事实，反而可能因逃避侦查而构成“逃逸”情节，加重处罚。
   • 追诉程序：公安机关会立案侦查，通过技术手段、群众举报等方式追踪你的行踪。一旦被抓获，你将面临刑事审判和相应的刑罚。

3. 关于逃避行为的后果：

   • 加重处罚：逃避法律责任的行为，如逃往外地、隐匿身份等，可能被视为认罪态度不好，从而在量刑时被从重处罚。
   • 限制自由：在逃亡期间，你可能无法正常生活和工作，时刻担心被公安机关抓获。这种心理压力和生活不便也是逃避行为的代价。

建议：

• 主动投案：如果你已经意识到自己的错误，最好的选择是主动向公安机关投案自首。自首是法定的从轻或减轻处罚情节，有助于你争取更轻的刑罚。
• 积极赔偿：与对方协商赔偿事宜，尽量达成和解。这不仅可以减轻你的民事责任，还可能在刑事审判中作为量刑的考虑因素。
• 配合调查：在投案后，如实供述自己的罪行，配合公安机关的调查工作。这有助于你展现良好的认罪态度，争取从宽处理。

总之，逃避不是解决问题的办法。面对法律责任，勇敢承担并积极配合调查才是明智之举。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。