关于您提出的“外卖商家不开发票顾客是否有权利退款”的问题，这并非一个简单的“是”或“否”的答案，而是需要根据具体情况和相关法律法规来综合判断。

首先，我们要明确发票的法律意义和商家的义务：

发票是消费者购买商品或服务的直接证据，它不仅是享受售后服务、进行退换货的重要依据，还是税收管理的重要凭证。根据《中华人民共和国发票管理办法》和《中华人民共和国消费者权益保护法》，商家在销售商品或提供服务时，必须向消费者开具发票。如果商家拒绝开具，将违反法律法规，并可能受到税务部门的处罚。

接下来，我们分析消费者要求退款的条件：

1. 商品存在质量问题或不符合法定退货条件：

   • 如果外卖商品存在质量问题，如食物变质、有异物等，或者根据法律规定商品应当退货（如依法经有关行政部门认定为不合格的商品），那么消费者有权要求退货退款，无论商家是否开具发票。

2. 商家未开具发票且影响合同目的实现：

   • 如果交易事先明确约定开具发票是合同的重要组成部分或前提条件，且因商家未开票导致合同目的无法实现（例如，消费者需要发票进行报销，但商家未提供），那么消费者有权要求退款。

3. 商家存在欺诈等严重问题：

   • 若商家通过不开发票掩盖欺诈行为，如销售假冒伪劣商品、虚标价格等，消费者在掌握充分证据的情况下，可以欺诈为由要求退款。

然而，如果商品本身没有问题，且商家未开具发票并未影响合同目的的实现，也没有欺诈等严重问题：

• 在这种情况下，仅因商家未开具发票，并不直接构成消费者要求退款的法定理由。消费者应首先与商家沟通，要求其补开发票。如果商家拒绝，消费者可以向税务部门投诉商家的违法行为。

申请退款的流程与注意事项：

1. 与商家协商：首先尝试与商家沟通，表达退款意愿，并尝试达成退款协议。保留好沟通记录作为后续纠纷的证据。

2. 寻求第三方帮助：

   • 若商家拒绝退款，消费者可以向外卖平台或消费者协会投诉，请求协助解决纠纷。
   • 同时，也可以向税务机关举报商家未开具发票的行为。

3. 法律途径：

   • 在必要时，消费者可以选择通过法律途径解决纠纷，向法院提起诉讼，维护自己的合法权益。在此过程中，应确保提供充分的证据证明自己的主张。

总结：

商家不开发票时，消费者能否要求退款需根据具体情况判断。在通常情况下，仅因未开具发票并不能直接要求退款；但在特定情形下（如商品存在质量问题、影响合同目的实现、存在欺诈等），消费者有权要求退款。在申请退款过程中，消费者应保留好相关证据，积极与商家协商或寻求第三方及法律途径的帮助，以维护自己的合法权益。同时，我也建议消费者在购物时主动索要发票，以确保自己的购买行为得到法律认可和保护。