结论：卖淫被拘留3天，一般不会有传统意义上的“案底”（即刑事犯罪记录），但会有治安处罚记录。这一记录可能会对进厂等需要背景审查的工作产生一定影响，具体影响程度取决于工厂的招聘政策和背景审查的严格程度。

详细分析：

1. 关于“案底”：

   • 定义：在法律语境中，“案底”通常指的是刑事犯罪记录，即因犯罪行为被法院判决有罪后留下的记录。
   • 卖淫行为的法律后果：卖淫行为在我国属于违法行为，但一般不构成犯罪（除非涉及组织、强迫、引诱、容留、介绍卖淫等情节）。因此，单纯的卖淫行为被行政拘留后，不会留下刑事犯罪记录，即不会有传统意义上的“案底”。
   • 治安处罚记录：然而，卖淫行为会受到治安管理处罚，如行政拘留、罚款等。这些处罚记录会被公安机关记录在案，形成治安处罚记录。

2. 关于进厂工作：

   • 背景审查：许多工厂在招聘时会进行背景审查，以了解应聘者的过往行为记录。这种审查可能包括刑事犯罪记录、治安处罚记录等。
   • 影响程度：治安处罚记录可能会对进厂工作产生一定影响，但具体影响程度取决于工厂的招聘政策和背景审查的严格程度。有些工厂可能对治安处罚记录较为宽容，而有些工厂则可能对此较为严格。
   • 建议：如果您因卖淫行为被行政拘留过，并计划进厂工作，建议您在应聘时主动向工厂说明情况，并表达您改过自新的决心。同时，您也可以咨询工厂的人力资源部门或相关负责人，了解他们的具体招聘政策和背景审查要求。

3. 法律建议：

   • 遵守法律：首先，我建议您严格遵守国家的法律法规，不再从事任何违法行为。
   • 了解法律后果：在做出任何行为之前，了解该行为可能带来的法律后果是非常重要的。这有助于您做出明智的决策，避免不必要的法律风险。
   • 寻求法律帮助：如果您在法律方面遇到任何问题或困惑，欢迎随时向我咨询。我将根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议和帮助。

总结：卖淫被拘留3天不会留下刑事犯罪记录，但会有治安处罚记录。这一记录可能会对进厂等需要背景审查的工作产生一定影响。我建议您严格遵守法律法规，并在应聘时主动向工厂说明情况。如果您在法律方面有任何问题或困惑，欢迎随时向我咨询。