针对您提出的“未成年子女被起诉没有监护权的另一方需要承担什么责任”这一问题，我们可以从法律的角度进行详细分析。

首先，需要明确的是，父母双方对未成年子女均享有平等的监护权，这包括抚养、教育和保护的权利与义务。在婚姻关系存续期间，若一方或其近亲属擅自带走未成年子女，并拒绝另一方行使监护权，这种行为可能构成对另一方因履行监护职责所产生的权利的侵害。

一、侵权责任

以指导性案例228号为例，张某与李某分居期间，李某及其祖母刘某未经张某允许，擅自将尚在哺乳期的李某某带走，并拒绝送回。这一行为导致张某长期无法探望孩子，也影响了李某某的健康成长。在此情况下，李某和刘某的行为不仅不利于未成年人身心健康，也构成了对张某监护权的侵害。根据《民法典》的相关规定，监护人依法履行监护职责产生的权利受法律保护，因此，张某有权要求李某和刘某承担侵权责任，包括停止侵害、恢复原状（如送回孩子）以及可能的赔偿损失等。

二、抚养监护责任

在婚姻关系存续期间，若双方分居且对未成年子女的抚养监护存在争议，人民法院可以参照适用《民法典》关于离婚后子女抚养的有关规定，暂时确定未成年子女的抚养事宜。这通常基于“最有利于被监护人”的原则进行判断。例如，在上述案例中，考虑到李某某尚在哺乳期，且一直由母亲张某母乳喂养，法院最终判决李某某暂由张某直接抚养。

三、没有直接监护权一方的责任

对于没有直接获得监护权的一方（如案例中的李某），其仍然享有探望子女的权利，并应承担对子女进行抚养、教育和保护的义务。直接抚养子女的一方（如张某）有义务协助对方行使探望权，确保子女能够得到父母双方的关爱和照顾。若没有直接监护权的一方未能履行其义务，如拒绝支付抚养费、阻碍对方探望子女等，可能面临法律责任，包括被法院强制执行、罚款甚至拘留等。

四、特殊情况下的政府保护

此外，若未成年子女面临无人监护的窘境（如父母去世、丧失监护能力或被撤销监护资格等），政府将及时介入，采取干预措施。根据《未成年人保护法》的相关规定，民政部门应当依法对未成年人进行长期监护，并给予妥善的生活安置。

综上所述，未成年子女被起诉没有监护权的另一方，若其行为构成对另一方监护权的侵害，需承担侵权责任；同时，无论是否直接获得监护权，双方均应承担对子女的抚养、教育和保护义务。在特殊情况下，政府将提供必要的保护和支持。希望这些解答能对您有所帮助。