申请行政监督的法定情形主要包括以下几种：

1. 行政机关不依法履行职责：

   • 当行政机关存在不作为、拖延履行或拒绝履行其法定职责时，公民、法人或其他组织可以申请行政监督。例如，行政机关在接到申请后，未在法定期限内作出答复或处理，或者对应当履行的职责故意回避，这些情况都构成不依法履行职责，可以申请行政监督。

2. 行政机关违法实施行政行为：

   • 如果行政机关在实施行政行为时违反了法律法规的规定，如超越职权、滥用职权、违反法定程序等，公民、法人或其他组织同样可以申请行政监督。例如，行政机关在作出行政处罚决定时，未依法告知当事人陈述、申辩的权利，或者处罚决定明显不当，这些都属于违法实施行政行为的范畴。

3. 行政机关侵犯公民、法人或其他组织合法权益：

   • 当行政机关的行为侵犯了公民、法人或其他组织的合法权益时，如非法限制人身自由、非法查封、扣押财产等，受影响的主体可以申请行政监督以维护自己的权益。这种情况下，行政监督不仅是对行政机关行为的监督，也是对公民、法人或其他组织合法权益的保护。

4. 行政机关不依法公开政府信息：

   • 根据政府信息公开的相关规定，行政机关有义务公开其掌握的政府信息，以保障公民的知情权。如果行政机关不依法公开政府信息，或者公开的信息不真实、不准确、不完整，公民、法人或其他组织可以申请行政监督，要求行政机关依法公开相关信息。

5. 其他需要申请行政监督的情形：

   • 除了上述几种情形外，还有一些其他特定情况下也可以申请行政监督。例如，当行政机关作出的行政行为涉及重大公共利益或社会影响时，或者当行政机关的行为可能引发社会争议或不稳定因素时，公民、法人或其他组织也可以考虑申请行政监督以促使行政机关依法行事。

在申请行政监督时，需要注意以下几点：

• 明确监督对象：要清楚知道是哪个行政机关的行为需要监督，以及该行政机关的具体行为内容。
• 收集证据材料：在申请行政监督前，要尽可能收集相关的证据材料，如行政机关的书面决定、通知、公告等，以及能够证明行政机关行为违法的其他证据。
• 遵循法定程序：申请行政监督需要遵循一定的法定程序，如提交书面申请、说明申请理由和依据等。要确保申请过程符合法律法规的规定，以提高申请的成功率。

如果遇到行政监督申请被拒绝或未得到妥善处理的情况，可以考虑进一步采取法律手段维护自己的权益，如提起行政复议或行政诉讼等。在处理这类问题时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。如果你有具体的法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。