申请行政诉讼监督的具体法定情形主要包括以下几种：
人民法院驳回再审申请或者逾期未对再审申请作出裁定，当事人对已经发生法律效力的行政判决、裁定、调解书，认为确有错误的：
- 在此情形下，当事人若认为原判决、裁定或调解书存在错误，且法院已驳回再审申请或逾期未裁定，可向人民检察院申请行政诉讼监督。这是当事人寻求法律救济的重要途径，旨在确保司法公正和当事人合法权益。
再审判决、裁定有明显错误的：
- 若再审过程中，法院作出的判决、裁定存在明显错误，如事实认定不清、法律适用错误等，当事人同样有权向人民检察院申请监督。这有助于纠正司法错误，维护法律尊严和当事人权益。
认为行政审判程序中审判人员存在违法行为的：
- 当事人若发现行政审判程序中审判人员存在违法行为，如贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等，可向人民检察院申请监督。这是监督司法行为、确保审判公正的重要手段。
认为人民法院执行活动存在违法情形的：
- 在执行阶段，若当事人认为法院的执行活动存在违法情形，如超标的执行、违法查封、扣押、冻结财产等，也可向人民检察院申请监督。这有助于规范执行行为，保护当事人财产权益。
法律背景与建议：
- 法律背景：行政诉讼监督是人民检察院对行政诉讼活动进行法律监督的重要职能，旨在确保行政诉讼的公正、合法进行，保护当事人合法权益，维护国家法律统一正确实施。
- 建议：当事人在申请行政诉讼监督时，应准备充分的证据材料，如原判决、裁定书、调解书、再审申请书、驳回再审申请通知书等，以证明其申请监督的合法性和合理性。同时，当事人应了解申请监督的流程和期限，确保在法定期限内提出申请。
可能的法律后果：
- 若人民检察院经审查认为当事人的申请符合监督条件，将依法进行监督，可能提出检察建议或提请抗诉，从而启动再审程序或纠正执行违法行为。
- 若当事人的申请不符合监督条件，人民检察院将作出不予支持的决定，当事人需接受原判决、裁定或调解书的效力，或寻求其他法律途径解决争议。
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