申请行政执法检察监督主要适用的法律为《人民检察院行政诉讼监督规则》以及《中华人民共和国行政诉讼法》等相关法律法规。以下是对这些法律的详细解释以及申请行政执法检察监督的相关要点：

一、主要法律依据

1. 《人民检察院行政诉讼监督规则》

   • 该规则详细规定了人民检察院对行政诉讼活动进行法律监督的范围、方式、程序等，是申请行政执法检察监督的重要依据。
   • 规则中明确了人民检察院可以依职权进行监督的情形，以及当事人可以申请监督的条件和程序。

2. 《中华人民共和国行政诉讼法》

   • 该法规定了行政诉讼的基本原则、管辖、诉讼参加人、证据、起诉与受理、审理与判决等，为行政执法检察监督提供了基本的法律框架。
   • 虽然该法主要规范的是行政诉讼活动，但行政执法检察监督作为对行政诉讼活动的一种法律监督形式，也必然受到该法的制约和影响。

二、申请行政执法检察监督的条件

根据《人民检察院行政诉讼监督规则》的相关规定，当事人认为行政诉讼活动存在违法情形，可以向人民检察院申请监督。具体来说，以下情形可以申请监督：

1. 人民法院驳回再审申请或者逾期未对再审申请作出裁定，当事人对已经发生法律效力的行政判决、裁定、调解书，认为确有错误的；
2. 认为再审行政判决、裁定确有错误的；
3. 认为行政审判程序中审判人员存在违法行为的；
4. 认为人民法院执行活动存在违法情形的。

三、申请行政执法检察监督的程序

1. 提交申请材料：当事人需要向人民检察院提交书面监督申请书，并附相关证据材料。申请书应当载明当事人的基本情况、申请监督的具体请求和所依据的事实与理由等。
2. 审查与受理：人民检察院对当事人的申请进行审查，认为符合受理条件的，予以受理；认为不符合受理条件的，作出不予受理决定，并说明理由。
3. 调查核实：人民检察院受理申请后，可以依法进行调查核实，包括询问当事人、查阅案卷材料、调取相关证据等。
4. 作出监督决定：人民检察院根据调查核实的情况，依法作出监督决定。对于确实存在违法情形的，可以提出检察建议或者抗诉等监督措施。

四、注意事项

1. 申请时效：当事人申请监督的时效一般应当在知道或者应当知道违法情形发生之日起六个月内提出。但具体时效可能因案件类型和具体情况而有所不同，建议当事人在申请前咨询专业律师。
2. 证据收集：当事人在申请监督时，应当尽可能收集并提交相关证据材料，以支持自己的申请请求。证据材料应当真实、合法、有效，并能够证明违法情形的存在。
3. 法律后果：如果人民检察院经过审查认为当事人的申请理由成立，并依法提出检察建议或者抗诉等监督措施，那么相关行政机关或者审判机关可能会面临相应的法律后果，如被责令改正、撤销原判决等。

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