子女在掌握充分证据的情况下，完全有权向人民法院提起对父亲或母亲重婚罪的刑事诉讼，也可以向公安机关报案，由公权力介入调查并依法处理。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据
根据《中华人民共和国刑法》第二百五十八条的规定，有配偶而重婚的，或者明知他人有配偶而与之结婚的，构成重婚罪，处二年以下有期徒刑或者拘役。这一条款明确规定了重婚罪的构成要件和刑罚标准，为子女起诉父亲或母亲重婚提供了法律依据。
二、子女的权利与诉讼途径
子女的权利：
- 作为家庭成员及近亲属，子女有权对父亲或母亲的重婚行为进行举报或提起诉讼。这既是维护家庭秩序的需要，也是履行公民义务的表现。子女虽然并非重婚行为的直接受害人，但重婚行为可能间接受到侵害子女的权益，如家庭关系破裂、经济支持减少等。
诉讼途径：
- 刑事自诉：子女若掌握了充分的证据证明父亲或母亲存在重婚行为，可以直接以自诉人的身份向人民法院提起刑事自诉，要求追究父亲或母亲的刑事责任。
- 公诉案件：若子女认为证据不足或案件情况复杂，可以向公安机关报案，由公安机关进行调查取证，并依法决定是否提起公诉。
三、实践中的考虑因素
证据收集：
- 成功起诉重婚罪的关键在于证据的收集。子女需要提供如结婚证（如果存在）、父亲或母亲与他人同居的证据（如租房合同、小区物业证明、证人证言等）、以夫妻名义生活的证据（如照片、录像、短信、微信聊天记录等）等，以充分证明父亲或母亲存在重婚行为。
家庭关系与影响：
- 起诉父亲或母亲重婚罪可能会对家庭关系产生深远影响。子女在决定是否起诉时，应权衡家庭关系的维护与对父亲或母亲重婚行为的追究之间的利弊，保持冷静和理性，避免情绪化行为影响诉讼进程和结果。
法律程序与注意事项：
- 子女应充分了解相关法律法规和诉讼程序，确保自己的合法权益得到保障。在诉讼过程中，应遵循法律程序，提供真实有效的证据，并积极配合法院或公安机关的调查工作。同时，由于重婚案件涉及个人隐私和家庭关系，子女在诉讼过程中也应注意保护自己和家人的隐私。
四、法律后果
如果子女成功起诉父亲或母亲重婚罪，且法院经审理认定构成重婚罪，那么父亲或母亲将面临二年以下有期徒刑或者拘役的刑罚。这不仅是对重婚行为的法律制裁，也是对家庭秩序和法律尊严的维护。
综上所述，子女在发现父亲或母亲存在重婚行为时，有权依法进行举报或提起诉讼。在诉讼过程中，子女应注重证据的收集与保存，同时考虑家庭关系的影响，确保自己的行为既符合法律法规的要求，又能有效维护家庭秩序和法律尊严。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。