结论：单位能否因您焦虑抑郁未完全恢复健康而不续签合同，需分情况讨论，主要取决于您的医疗期是否已满以及单位不续签的理由是否合法。
根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工因患病或非因工负伤，享有法定的医疗期。医疗期的长短根据员工的工作年限和在本单位的工作年限确定，一般为3-24个月。在医疗期内，单位不得以员工健康问题为由解除劳动合同或不续签合同。若单位在医疗期内提出不续签，属于违法行为，您有权要求单位继续履行合同或支付赔偿金。
若医疗期满后，您仍无法从事原工作，也无法从事单位另行安排的工作：根据《劳动合同法》第四十条，单位可以提前30日以书面形式通知您或额外支付一个月工资后，解除劳动合同。但单位需支付经济补偿金，补偿标准按您在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资。
若医疗期满后，您能够从事原工作或单位另行安排的工作：单位无权以健康问题为由不续签合同。若单位坚持不续签，属于违法行为，您有权要求单位继续履行合同或支付赔偿金。
即使医疗期满，单位也不得以您患有焦虑抑郁等精神疾病为由，歧视性地拒绝续签合同。根据《就业促进法》和《精神卫生法》，用人单位应当保障精神障碍患者享有平等就业的权利，不得因歧视性理由解除劳动合同或不续签合同。若单位存在歧视行为，您有权向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁，要求单位承担法律责任。
建议：
保留医疗证明和沟通记录：若您处于医疗期或医疗期满后，建议保留医院出具的诊断证明、病假条以及与单位沟通的记录，以证明您的健康状况和单位的处理方式。
与单位协商：在合同到期前，建议与单位沟通，明确您的健康状况和续签意愿。若单位提出不续签，要求其出具书面理由，以便后续维权。
寻求法律帮助：若单位的行为涉嫌违法或歧视，建议及时咨询我，评估具体案情，制定维权策略。
如有进一步疑问或需要具体法律帮助，欢迎直接向我提问。