结论：教育局与国有全资公司联合承办幼儿园，由教育局免费提供房屋和土地，这一行为在符合相关法律法规和政策规定的前提下，是合法的。以下从多个角度进行分析：
一、土地使用权角度
土地性质与用途：
- 如果提供的土地是教育用地，且符合当地土地利用总体规划和城乡规划，用于举办幼儿园（属于教育设施），则符合土地用途管制的要求。
- 根据《中华人民共和国土地管理法》等相关法律法规，教育用地通常享有特殊的土地使用政策，如划拨方式供地等，以支持教育事业的发展。
土地使用权取得方式：
- 教育局作为政府机构，可能通过划拨、出让等方式取得土地使用权。若通过划拨方式取得，则无需支付土地出让金，但需符合划拨用地的条件。
- 若教育局已合法取得土地使用权，并有权将土地用于教育目的，包括举办幼儿园，则其提供土地的行为是合法的。
二、房屋所有权与使用权角度
房屋所有权：
- 如果教育局是房屋的所有权人，或者有权使用该房屋（如通过租赁、借用等方式），则其有权将房屋提供给幼儿园使用。
- 房屋所有权的取得需符合《中华人民共和国民法典》中关于物权的规定，包括通过购买、继承、赠与等方式取得。
房屋使用权：
- 教育局作为房屋的使用权人或管理人，有权根据教育需要安排房屋的使用。将房屋提供给幼儿园使用，属于教育用途的合理延伸。
三、合作办学角度
合作协议：
- 教育局与国有全资公司之间的合作办学协议是判断行为合法性的重要依据。协议应明确双方的权利义务、土地房屋的使用方式、期限、费用等关键条款。
- 只要合作协议符合法律法规的规定，且双方均按照协议履行义务，则合作办学行为是合法的。
政策支持：
- 政府鼓励社会力量参与教育事业的举办，包括与国有全资公司等合作办学。只要合作办学行为符合当地教育政策的要求，且未违反法律法规的禁止性规定，则应得到支持。
四、潜在风险与合规建议
潜在风险：
- 如果土地或房屋的使用存在权属纠纷、未取得合法手续（如未办理规划许可、施工许可等）或违反土地用途管制等情形，则可能面临法律风险。
- 合作办学协议若存在条款不明确、权利义务不对等或违反法律法规等情形，也可能引发纠纷。
合规建议：
- 在提供土地和房屋前，教育局应确保土地和房屋的权属清晰、手续合法，并符合土地用途管制的要求。
- 双方应签订详细的合作办学协议，明确各自的权利义务和责任分担机制。
- 在合作办学过程中，双方应遵守相关法律法规和政策规定，确保教育活动的合法性和规范性。
总结与建议：教育局与国有全资公司联合承办幼儿园，并由教育局免费提供房屋和土地的行为，在符合相关法律法规和政策规定的前提下是合法的。然而，为了确保行为的合法性和避免潜在风险，双方应签订详细的合作办学协议，并确保土地和房屋的权属清晰、手续合法。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。