结论：在执行中发现原案件多年前还钱的新证据，一般不可以直接申请检察监督，但可以通过申请再审等途径来维护自身权益。
分析说明：
检察监督的适用范围：
- 检察监督主要是检察机关对诉讼活动进行法律监督的一种方式，它通常针对的是诉讼过程中可能存在的违法行为或错误裁判。然而，在执行阶段发现新证据，并不直接属于检察监督的常规适用范围。检察监督更多关注的是诉讼程序的合法性和裁判的公正性，而非执行过程中新证据的发现。
新证据的处理方式：
- 在执行阶段发现新证据，特别是关于多年前已经还款的证据，这通常意味着原判决可能存在事实认定上的错误。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人可以在法定期限内申请再审，以纠正原判决中的错误。再审程序是处理此类新证据发现问题的主要途径。
申请再审的流程：
- 当事人需要准备充分的证据材料，包括新发现的还款证据等，以证明原判决存在错误。
- 当事人应在法定期限内向有管辖权的人民法院提交再审申请书及相关证据材料。
- 人民法院将对再审申请进行审查，并决定是否启动再审程序。
其他可能的途径：
- 如果当事人认为执行过程中存在违法行为或执行人员存在违纪行为，可以向检察机关提出控告或举报，但这与因新证据发现而申请检察监督是不同的。
- 当事人还可以考虑通过和解、调解等方式与对方协商解决纠纷，但这需要双方自愿且符合法律规定。
行动建议：
- 准备证据材料：尽快收集并整理新发现的还款证据，确保证据的真实性、合法性和关联性。
- 咨询专业律师：在申请再审前，建议咨询专业律师，了解再审程序的法律规定和操作流程，以及可能面临的法律风险和后果。
- 提交再审申请：在法定期限内向有管辖权的人民法院提交再审申请书及相关证据材料，并按照法院的要求参与后续的再审程序。
法律后果：
- 如果再审申请被法院受理并裁定再审，原判决可能会被撤销或改判，从而维护当事人的合法权益。
- 如果再审申请未被法院受理或再审后原判决未被撤销或改判，当事人需要接受原判决的结果，并考虑其他合法的纠纷解决方式。
在处理此类问题时，请务必保持冷静和理性，依法维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。