核心结论：手机店向未成年学生出售手机且未开发票，一般情况下手机是可以退的；若商家不愿退，可通过协商、向相关部门投诉、提起诉讼等途径解决。以下是具体分析：
从商家行为合法性角度
- 向未成年人售卖手机的合法性
- 根据《中华人民共和国民法典》规定，八周岁以上的未成年人为限制民事行为能力人，实施民事法律行为由其法定代理人代理或者经其法定代理人同意、追认；但是，可以独立实施纯获利益的民事法律行为或者与其年龄、智力相适应的民事法律行为。
- 购买手机通常不属于与未成年人年龄、智力相适应的行为，除非该未成年人能够以自己的劳动收入为主要生活来源。所以，手机店向未成年学生出售手机，若未得到其法定代理人同意或追认，该买卖合同可能被认定为效力待定或无效，学生一方有权要求退货退款。
- 未开发票的合法性
- 根据《中华人民共和国发票管理办法》，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。手机店未开发票的行为违反了相关税收管理规定，属于违法行为。这一违法行为也进一步说明商家在经营过程中存在不规范之处，从侧面支持了学生要求退货退款的主张。
若商家不愿退货的解决途径
- 协商解决
- 学生或其法定代理人可以先与手机店进行友好协商，向商家说明向未成年人售卖手机且未开发票的行为存在违法性，要求商家退货退款。在协商过程中，要注意保留好相关的沟通记录，如聊天记录、通话录音等，以备后续需要。
- 向相关部门投诉
- 消费者协会：可以向当地消费者协会投诉，消费者协会会依据《中华人民共和国消费者权益保护法》的规定，对投诉进行调查调解，促使商家履行退货退款义务。
- 税务部门：由于商家未开发票，可以向当地税务部门举报商家的违法行为。税务部门会对商家进行查处，这可能会对商家产生一定的压力，促使其同意退货退款。
- 市场监督管理部门：市场监督管理部门负责监管市场经营秩序，对于商家向未成年人售卖手机等不规范经营行为有权进行查处。向该部门投诉后，他们会展开调查并依法处理，维护学生的合法权益。
- 提起诉讼
- 如果通过协商和投诉都无法解决问题，学生或其法定代理人可以向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，需要提供相关证据，如购买手机的凭证（即使没有发票，也可以提供转账记录、聊天记录等证明购买事实）、能够证明购买者为未成年人的证据（如户口本、身份证等）以及与商家沟通协商的记录等。法院会根据事实和法律规定，判决商家承担退货退款等相应的法律责任。