书面要求签订无固定期限合同的申请，应当发给用人单位，具体来说是发给用人单位的人力资源部门或直接负责劳动合同管理的相关负责人。以下是从不同角度的详细分析：

一、法律背景与依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，当劳动者在用人单位连续工作满十年，或者连续订立二次固定期限劳动合同且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者有权提出订立无固定期限劳动合同。在此情况下，劳动者应当以书面形式向用人单位提出这一要求。

二、申请对象与流程

1. 申请对象：书面要求应当发给用人单位，具体部门可以是人力资源部或负责劳动合同管理的部门。这是因为这些部门是负责处理劳动合同相关事宜的专门机构，能够确保你的申请得到及时、有效的处理。

2. 申请流程：

   • 准备书面申请：明确表达你希望签订无固定期限劳动合同的意愿，并附上相关法律依据和你在用人单位的工作年限、劳动合同签订情况等证明材料。
   • 提交申请：将书面申请提交给用人单位的人力资源部门或相关负责人。为了确保申请得到妥善处理，建议通过邮寄、电子邮件或当面递交等方式进行提交，并保留好提交凭证。
   • 等待回复：用人单位在收到你的申请后，应当进行审查并给出回复。如果用人单位同意签订无固定期限劳动合同，双方应当协商确定合同的具体条款并签订书面合同。如果用人单位不同意，你应当了解具体原因，并考虑是否通过法律途径维护自己的权益。

三、注意事项与建议

1. 保留证据：在提交书面申请时，务必保留好相关证据，如提交凭证、用人单位的回复等。这些证据在后续可能发生的劳动争议中将起到关键作用。

2. 了解用人单位政策：在提出申请前，建议先了解用人单位关于劳动合同签订的政策和规定。这有助于你更好地准备申请材料，并增加申请成功的可能性。

3. 寻求法律帮助：如果你对劳动合同法的相关规定不熟悉，或者在与用人单位协商过程中遇到困难，可以寻求专业律师的帮助。律师能够为你提供法律咨询和代理服务，帮助你更好地维护自己的权益。

4. 保持沟通：在申请过程中，与用人单位保持积极、理性的沟通是非常重要的。通过沟通，你可以更好地了解用人单位的立场和考虑，同时也能够表达自己的诉求和期望，有助于双方达成共识。