结论：当劳动者与用人单位连续签订两次固定期限劳动合同后，若用人单位不续签，通常构成违法解除劳动关系，需支付赔偿金。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据与解读

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条第二款第三项的规定：“用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：（三）连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。”

这一条款意味着，在连续签订两次固定期限劳动合同后，如果劳动者没有违反法律法规或用人单位规章制度的行为（如严重失职、营私舞弊等），且不存在不能胜任工作等特定情形，劳动者有权要求与用人单位签订无固定期限劳动合同。若用人单位无正当理由拒绝续签，则构成违法解除劳动关系。

二、用人单位不续签的法律后果

1. 支付赔偿金：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。”
   • 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，赔偿金将是经济补偿标准的两倍。
   • 计算公式：赔偿金 = 经济补偿 × 2 = (工作年限 × 月工资) × 2（若工作年限不足半年，则按半个月工资计算经济补偿；若工作年限半年以上不满一年，则按一个月工资计算经济补偿）。

2. 可能面临行政处罚：

   • 用人单位还可能因违法解除劳动关系而面临劳动行政部门的处罚，如责令改正、罚款等。

三、劳动者的应对措施

1. 与用人单位协商：

   • 劳动者可以尝试与用人单位进行协商，表达希望签订无固定期限劳动合同的意愿，并了解用人单位不续签的具体原因。

2. 保留证据：

   • 劳动者应保留好与用人单位签订的劳动合同、工资单、考勤记录等证据，以备不时之需。这些证据在后续申请劳动仲裁或提起诉讼时将起到关键作用。

3. 申请劳动仲裁：

   • 如果协商无果，劳动者可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付赔偿金或继续履行劳动合同。劳动仲裁是解决劳动纠纷的重要途径之一，具有高效、便捷的特点。

4. 提起诉讼：

   • 对仲裁结果不服的，劳动者还可以向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。在诉讼过程中，劳动者需要提供充分的证据来支持自己的主张。

四、注意事项

1. 及时行动：

   • 劳动者应在知道或应当知道自己的权益受到侵害之日起一年内申请劳动仲裁，以免错过时效。逾期申请的，劳动争议仲裁委员会将不予受理。

2. 了解法律程序：

   • 在申请劳动仲裁或提起诉讼前，劳动者应了解相关的法律程序和规定，以便更好地维护自己的权益。例如，了解劳动仲裁的申请流程、所需材料以及诉讼的起诉条件、审理程序等。

举例说明：假设某员工与用人单位连续签订了两次为期一年的固定期限劳动合同，且该员工在工作中没有违反任何规章制度或法律法规。在第二次合同到期前，该员工向用人单位提出续签无固定期限劳动合同的请求，但用人单位拒绝续签。此时，该员工有权向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付赔偿金。若该员工的工作年限为两年，月工资为8000元，则用人单位应支付的赔偿金为：\(8000 \text{元/月} \times 2 \text{年} \times 2 = 32000 \text{元}\)。

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