如果雇佣的做饭阿姨在工作期间生病，处理方式主要取决于阿姨与雇主之间的法律关系以及生病的性质和严重程度，以下是具体分析：

1. 法律关系认定：

   • 雇佣关系：如果阿姨与雇主之间形成的是雇佣关系（即非全日制用工或临时用工，未签订书面劳动合同），那么阿姨在工作期间生病，雇主一般不需要承担工伤保险责任，但根据《民法典》中关于侵权责任的规定，如果阿姨的生病是由于工作原因导致的（如因工作条件恶劣、过度劳累等），雇主可能需要承担一定的民事赔偿责任。不过，这种情况下的举证责任在阿姨一方，需要证明生病与工作有直接因果关系。
   • 劳动关系：如果阿姨与雇主之间形成的是劳动关系（即签订了书面劳动合同，阿姨受雇主的劳动管理，从事雇主安排的有报酬的劳动），那么阿姨在工作期间生病，可能构成工伤（如果生病与工作有直接关系，如职业病）或享受非因工负伤的医疗期待遇。

2. 工伤认定与赔偿：

   • 工伤认定：如果阿姨的生病被认定为工伤（如职业病），那么根据《工伤保险条例》的规定，阿姨有权享受工伤保险待遇，包括医疗费、康复费、停工留薪期工资等。雇主需要为阿姨申报工伤，并配合社会保险行政部门进行工伤认定。
   • 赔偿流程：一旦工伤认定成功，工伤保险基金会支付相应的工伤保险待遇。如果雇主未为阿姨缴纳工伤保险费，那么这些待遇将由雇主自行承担。

3. 非因工负伤的医疗期待遇：

   • 医疗期：如果阿姨的生病不属于工伤，但属于非因工负伤，那么根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，阿姨有权享受一定期限的医疗期。医疗期的具体期限根据阿姨的工作年限和在本单位的工作年限来确定。
   • 待遇支付：在医疗期内，雇主需要支付阿姨病假工资或疾病救济费，具体标准根据地方规定和雇主内部规章制度来确定，但不得低于当地最低工资标准的80%。

4. 实际操作建议：

   • 及时沟通：一旦阿姨在工作期间生病，雇主应第一时间与阿姨沟通，了解病情和就医情况。
   • 保留证据：如果阿姨主张生病与工作有关，雇主应要求阿姨提供医疗证明等相关证据，以便后续处理。
   • 依法处理：根据阿姨与雇主之间的法律关系以及生病的性质和严重程度，依法处理相关事宜，避免产生不必要的法律纠纷。

总结来说，如果雇佣的做饭阿姨在工作期间生病，雇主应首先明确与阿姨之间的法律关系，然后根据生病的性质和严重程度依法处理。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况为你提供详细的法律建议。