私立学校辞退老师的补偿情况需根据辞退的合法性、教师在校的工作年限以及月工资水平综合确定。以下是对这一问题的详细分析：

一、合法辞退的补偿

1. 双方协商一致解除劳动合同

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十六条，用人单位与劳动者协商一致，可以解除劳动合同。
   • 补偿标准：按教师在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的经济补偿金。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿金。
   • 示例：若教师在私立学校工作了3年6个月，被协商一致解除劳动合同，则学校应支付3.5个月工资作为经济补偿。

2. 无过失性辞退

   • 情形列举：包括教师患病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由学校另行安排的工作的；教师不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经学校与教师协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的。
   • 补偿标准：同样按教师在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的经济补偿金。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿金。

3. 经济性裁员

   • 情形列举：学校因经济困难等原因进行经济性裁员时。
   • 补偿标准：与上述协商一致解除和无过失性辞退的补偿标准相同。

二、违法辞退的补偿

1. 违法辞退情形

   • 包括但不限于未进行离岗前职业健康检查、在诊断或医学观察期间被辞退；患职业病或因工负伤丧失劳动能力后被辞退；患病或非因工负伤在医疗期内被辞退；女职工在孕期、产期、哺乳期被辞退等。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。

2. 赔偿标准

   • 按教师在本单位工作的年限，每满一年支付两个月工资的赔偿金。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付一个月工资的赔偿金。
   • 示例：若教师在私立学校工作了2年3个月，被违法辞退，则学校应支付5个月工资作为赔偿金（2年×2个月/年 + 0.5年×1个月/年，不满六个月按一个月计算，此处为简化计算，实际应更精确计算月份对应的赔偿）。

三、无需支付补偿的情形

• 教师过错：如试用期间不符合录用条件、严重违反规章制度、严重失职等（《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条）。
• 协商一致解除且教师同意：虽由学校主动提出，但经双方协商一致，且教师同意不支付经济补偿金的情形（但通常协商一致解除应支付经济补偿金，除非教师明确放弃）。

四、月工资定义及计算

• 月工资是指教师在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
• 计算公式：月工资 = （前12个月工资总额）÷ 12

五、实际应用指导

教师在面对辞退问题时，应首先判断辞退的合法性。若认为辞退违法，可依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，要求学校支付相应的赔偿金。同时，教师应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、辞退通知书等，以便在必要时维护自己的合法权益。

总结来说，私立学校辞退老师的补偿情况复杂多样，需根据具体情况来判断。教师在面临此类问题时，应充分了解自己的权益和法律规定，以便做出正确的应对。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。