私立学校老师请假一个月后被辞退，是否可以要求补偿，主要取决于辞退的原因和具体情况。以下是对此问题的详细分析：
一、需要支付经济补偿的情况
协商一致解除劳动合同：
- 如果私立学校与老师协商一致解除劳动合同，且双方未就经济补偿另有约定，那么学校应当按照老师在学校的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向老师支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向老师支付半个月工资的经济补偿。
无过失性辞退：
- 若老师因病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由学校另行安排的工作，学校提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后解除劳动合同的，需支付经济补偿。
- 若老师不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的，学校同样需要支付经济补偿。
- 若劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化（如学校经营困难、转型等），致使劳动合同无法履行，经学校与老师协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的，学校也需支付经济补偿。
经济性裁员：
- 如果学校因重整、生产经营发生严重困难等情形需要裁减人员，且符合法定条件（如裁减人员二十人以上或者裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上，提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告等），学校应当向被裁减的老师支付经济补偿。
学校未依法支付劳动报酬或未缴纳社会保险费：
- 如果学校未及时足额支付老师的劳动报酬，或未依法为老师缴纳社会保险费，老师可以解除劳动合同，并要求学校支付经济补偿。
二、无需支付经济补偿的情况
试用期不符合录用条件：
- 在试用期间，如果老师被证明不符合录用条件，学校可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
严重违纪：
- 如果老师严重违反学校的规章制度，如旷工、教学事故等，学校可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
严重失职或营私舞弊：
- 如果老师严重失职、营私舞弊，给学校造成重大损害，学校可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
被追究刑事责任：
- 如果老师被依法追究刑事责任，学校可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
三、经济补偿的计算标准
- 经济补偿按老师在学校工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准。
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 若老师月工资高于所在地区上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按职工月平均工资三倍的数额支付，最高不超过十二年。
- 月工资指老师在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
四、针对用户问题的具体分析
- 在您描述的情况下，如果老师请假一个月是出于合理的医疗期或事假，且学校因此辞退老师，那么学校可能需要支付经济补偿，具体取决于辞退的原因是否属于上述需要支付经济补偿的情形。
- 如果学校以老师请假一个月为由，未经合法程序直接辞退老师，且该辞退行为不符合上述无需支付经济补偿的情形，那么老师有权要求学校支付经济补偿，甚至可能要求学校继续履行劳动合同或支付赔偿金。
建议：如果您作为老师遇到此类情况，建议首先与学校进行沟通协商，了解辞退的具体原因和依据。如果协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。如有进一步疑问或需要法律帮助，请直接向我咨询。