在私立学校任教19年被辞退，是否有补偿取决于辞退的原因和具体情况。以下从多个角度进行分析：
一、需要支付经济补偿的情况
协商一致解除劳动合同：
- 如果私立学校与您协商一致解除劳动合同，且双方未就经济补偿另有约定，那么学校应当按照您在学校的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。
- 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（工作年限满19年，则经济补偿金至少为19个月工资）。
无过失性辞退：
- 如果您患病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由学校另行安排的工作的；或者您不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；或者劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化（如学校经营困难、转型等），致使劳动合同无法履行，经学校与您协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的，学校也需要支付经济补偿。
- 补偿标准：与协商一致解除劳动合同相同，即每满一年支付一个月工资的标准。
经济性裁员：
- 如果学校依照企业破产法规定进行重整，或生产经营发生严重困难等情形，需要裁减人员二十人以上或者裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的，应当提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，可以裁减人员。在此情况下，学校也需要按照上述标准支付经济补偿。
违法解除劳动合同：
- 如果学校违反法律规定解除劳动合同，如未按照法定程序进行、未支付应得报酬等，您有权要求学校继续履行合同或支付赔偿金。赔偿金的标准通常是经济补偿标准的两倍。
- 计算公式：赔偿金 = 2 × 经济补偿金（即至少为38个月工资）。
未依法支付劳动报酬等：
- 如果学校未及时足额支付您的劳动报酬，或未依法为您缴纳社会保险费等，您可以解除劳动合同，并要求学校支付经济补偿。
二、不需要支付经济补偿的情况
试用期不符合录用条件：
- 如果您在试用期间被证明不符合录用条件，学校可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。但此情况不适用于您已任教19年的情形。
严重违纪：
- 如果您严重违反学校的规章制度，如旷工、教学事故等，学校可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
严重失职或营私舞弊：
- 如果您严重失职、营私舞弊，给学校造成重大损害，学校可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
被追究刑事责任：
- 如果您被依法追究刑事责任，学校可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
三、建议与行动
判断辞退的合法性：
- 首先，您需要判断学校辞退您的行为是否合法。如果认为辞退违法，您可以依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，要求学校支付相应的赔偿金。
保留相关证据：
- 在处理此类问题时，保留好相关证据至关重要。包括劳动合同、工资单、辞退通知书、学校规章制度等，以便在必要时维护自己的合法权益。
寻求法律帮助：
- 如果您对辞退的合法性、经济补偿的计算等存在疑问，或者学校拒绝支付经济补偿或赔偿金，您可以向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。
综上所述，私立学校任教19年被辞退是否有补偿，取决于辞退的原因和具体情况。如果您认为自己的权益受到侵害，建议及时采取行动，维护自己的合法权益。